Bài 7 trang 116 Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC. A’B’C’\) có tất cả các cạnh bằng \(a\)...

Đề bài :

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) (Hình 100).

a) Tính góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(B’C’\).

b) Tính góc giữa đường thẳng \(A’B\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

c) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,CC’,M} \right]\).

d) Chứng minh rằng \(CC’\parallel \left( {ABB’A’} \right)\). Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(CC’\) và mặt phẳng \(\left( {ABB’A’} \right)\).

e) Chứng minh rằng \(CM \bot \left( {ABB’A’} \right)\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CC’\) và \(A’M\).

g) Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) và thể tích khối chóp \(A’.MBC\).

Hướng dẫn giải :

a) Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):

Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.

Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a’\parallel a\) và đường thẳng \(b’\parallel b\).

Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a’,b’} \right)\).

b) Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

c) Cách xác định góc nhị diện \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\)

Bước 1: Xác định \(c = \left( {{P_1}} \right) \cap \left( {{Q_1}} \right)\).

Bước 2: Tìm mặt phẳng \(\left( R \right) \bot c\).

Bước 3: Tìm \(p = \left( R \right) \cap \left( {{P_1}} \right),q = \left( R \right) \cap \left( {{Q_1}} \right),O = p \cap q,M \in p,N \in q\).

Khi đó \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right] = \widehat {MON}\).

d) ‒ Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trên mặt phẳng.

‒ Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.

e) ‒ Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trên mặt phẳng.

‒ Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

g) ‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: \(V = Sh\).

‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}Sh\).

Lời giải chi tiết :

a) \(BCC’B’\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow BC\parallel B’C’\)

\( \Rightarrow \left( {AB,B’C’} \right) = \left( {AB,BC} \right) = \widehat {ABC} = {60^ \circ }\).

b)

\(\Delta AA’B\) vuông tại \(A \Rightarrow \tan \widehat {ABA’} = \frac{{AA’}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {ABA’} = {45^ \circ }\)

Vậy \(\left( {A’B,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^ \circ }\).

c) \(CC’ \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CC’ \bot BC,CC’ \bot CM\)

Vậy \(\widehat {BCM}\) là góc nhị diện \(\left[ {B,CC’,M} \right]\).

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \widehat {BCM} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = {30^ \circ }\).

d) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CM\)

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CM \bot AB\).

\( \Rightarrow CM \bot \left( {ABB’A’} \right)\)

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(\left. \begin{array}{l}CC’\parallel AA’\\AA’ \subset \left( {ABB’A’} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CC’\parallel \left( {ABB’A’} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {CC’,\left( {ABB’A’} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB’A’} \right)} \right) = CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

e) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CM\)

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CM \bot AB\).

\( \Rightarrow CM \bot \left( {ABB’A’} \right) \Rightarrow CM \bot A’M\)

\(CC’ \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CC’ \bot CM\)

\( \Rightarrow d\left( {CC’,A’M} \right) = CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

g) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4},h = AA’ = a\)

\( \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

\({S_{\Delta MBC}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8},h = AA’ = a\)

\( \Rightarrow {V_{A’.MBC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta MBC}}.AA’ = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)