Giải mục 2 trang 30, 31 Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Xét số vô tỉ: \(\sqrt 2 = 1, 4142135624. \). Xét dãy số hữu tỉ...

Câu hỏi:

Xét số vô tỉ: \(\sqrt 2 = 1,4142135624...\). Xét dãy số hữu tỉ: \({r_1} = 1;{r_2} = 1,4;{r_3} = 1,41;{r_4} = 1,414;{r_5} = 1,4142;{r_6} = 1,41421;...\) và \(\lim {r_n} = \sqrt 2 \). Bằng cách tính \({3^{{r_n}}}\) tương ứng, ta nhận được Bảng 1 ghi các dãy số \(\left( {{r_n}} \right)\) và \(\left( {{3^{{r_n}}}} \right)\) với n = 1, 2, …, 6. Người ta chứng minh được rằng khi \(n \to + \infty \) thì dãy số \(\left( {{3^{{r_n}}}} \right)\) dần đến một giới hạn mà ta gọi là \({3^{\sqrt 2 }}\). Nêu dự đoán về giá trị của số \({3^{\sqrt 2 }}\) (đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải :

Dựa vào giới hạn của dãy số hữu tỉ để dự đoán

Lời giải chi tiết :

Do \({r_1} = 1;{r_2} = 1,4;{r_3} = 1,41;{r_4} = 1,414;{r_5} = 1,4142;{r_6} = 1,41421;...\) => \({3^{\sqrt 2 }} \approx 1,41\)

Câu hỏi:

So sánh \({10^{\sqrt 2 }}\,\,và \,\,10\)

Hướng dẫn giải :

Dựa vào dự đoán ở ví dụ 5 để so sánh

Lời giải chi tiết :

Do \({10^{\sqrt 2 }} \approx 25,95 > 10 \Rightarrow {10^{\sqrt 2 }} > 10\)

Câu hỏi:

Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương

Hướng dẫn giải :

Dựa vào các kiến thức đã học về lũy thừa ở cấp 2 để làm bài

Lời giải chi tiết :

+ \({a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\)

+ \(\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}\)

+ \({\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}\)

+ \({(ab)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\)

+ \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\)

+ Nếu a > 1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta \)

+ Nếu 0 < a < 1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta \)

Câu hỏi:

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số: \({2^{2\sqrt 3 }}\,\,và \,\,{2^{3\sqrt 2 }}\)

Hướng dẫn giải :

Dựa vào Ví dụ 7 để làm

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}{\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 12\\{\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18\end{array} \right\} \Rightarrow 2\sqrt 3 < 3\sqrt 2 \Rightarrow {2^{2\sqrt 3 }} < {2^{3\sqrt 2 }}\)

Câu hỏi:

Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

a) \( (-2,7)^{-4}\);

b) \( \sqrt 3 - 1)^{\sqrt[3] {4} + 1}\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng máy tính để tính, làm tròn đến hàng phần trăm.

Lời giải chi tiết :

a) \( (-2,7)^{-4} \approx 0,02\);

b) \( \sqrt 3 - 1)^{\sqrt[3] {4} + 1} \approx 0,45\)