Giải mục 2 trang 97, 98, 99, 100 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Nếu hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm M thì đường thẳng c có đi qua...

Câu hỏi:

Trong không gian, cho điểm M và đường thẳng d không đi qua điểm M (Hình 36). Nêu dự đoán về số đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d.

Hướng dẫn giải :

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

Lời giải chi tiết :

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d

Câu hỏi:

Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c, trong đó \(a = (P) \cap (R),b = (Q) \cap (R),c = (P) \cap (Q)\)

- Nếu hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm M thì đường thẳng c có đi qua điểm M hay không (Hình 38a)?

- Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì đường thẳng a có song song với đường thẳng c hay không (Hình 38b)?

Hướng dẫn giải :

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Lời giải chi tiết :

- Nếu hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm M thì đường thẳng c đi qua điểm M

- Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì đường thẳng a song song với đường thẳng c

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC).

Hướng dẫn giải :

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm điểm chung của chúng.

Đường thẳng đi qua hai điểm chung là giao tuyến

Lời giải chi tiết :

Ta có: AB thuộc (SAB)

CD thuộc (SCD)

Mà AB // CD, S là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Từ S kẻ Sx sao cho Sx // AB // CD

Vậy Sx là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Chứng minh tương tự, ta có: Sy là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Câu hỏi:

Trong mặt phẳng, hãy nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba.

Hướng dẫn giải :

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Lời giải chi tiết :

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SC. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, BC sao cho \(\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BQ}}{{BC}} = \frac{1}{3}\). Chứng minh rằng MN song song với PQ.

Hướng dẫn giải :

- Nếu ba mp phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc song song với nhau

- Hệ quả: Nếu hai mp phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

- Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne b\\a//c\\b//c\end{array} \right. \Rightarrow a//b\)

Lời giải chi tiết :

Ta có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC

Do đó, tam giác SAC có MN // AC (1)

Ta có: \(\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BQ}}{{BC}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra: PQ // AC (2)

Từ (1) và (2), suy ra: MN // PQ