Trang chủ Lớp 11 SGK Toán 11 - Cánh diều Chương 3 Giới hạn. Hàm số liên tục Giải mục 1 trang 66, 67, 68, 69 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x. \) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)...

Giải mục 1 trang 66, 67, 68, 69 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x. \) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)...

. Phân tích và giải Hoạt động 1 , Luyện tập, vận dụng 1 , Hoạt động 2 , Luyện tập, vận dụng 2 , Hoạt động 3 , Luyện tập, vận dụng 3 mục 1 trang 66, 67, 68, 69 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều Bài 2. Giới hạn của hàm số. Xét hàm số (fleft( x right) = 2x. )a) Xét dãy số (left( {{x_n}} right), ) với ({x_n} = 1 + frac{1}{n}. ) Hoàn thành bảng giá trị (fleft( {{x_n}} right)) tương ứng...

Câu hỏi:

Hoạt động 1

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x.\)

a) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right),\) với \({x_n} = 1 + \frac{1}{n}.\) Hoàn thành bảng giá trị \(f\left( {{x_n}} \right)\) tương ứng.

image

Các giá trị tương ứng của hàm số \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),...\) lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right).\) Tìm \(\lim f\left( {{x_n}} \right).\)

b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì \(\left( {{x_n}} \right),{x_n} \to 1\) ta luôn có \(f\left( {{x_n}} \right) \to 2.\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn kết hợp với một số giới hạn cơ bản.

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) thì

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\)

Lời giải chi tiết :

a,

image

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2.\frac{{n + 1}}{n}} \right) = \lim 2.\lim \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = 2.\left( {1 + 0} \right) = 2\)

b) Lấy dãy số bất kì \(\left( {{x_n}} \right),{x_n} \to 1\) ta có \(f\left( {{x_n}} \right) = 2{x_n}.\)

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2{x_n}} \right) = \lim 2.\lim {x_n} = 2.1 = 2\)


Câu hỏi:

Luyện tập, vận dụng 1

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4.\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho khoảng K chứa điểm \({x_0}\)và hàm số \(f(x)\)xác định trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to L\)

Lời giải chi tiết :

Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \(\lim {x_n} = 2.\)

Ta có \(\lim x_n^2 = {2^2} = 4\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4.\)


Câu hỏi:

Hoạt động 2

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 1,g\left( x \right) = x + 1.\)

a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

b) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

c) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

d) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

e) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\)và so sánh \(\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}.\)

Hướng dẫn giải :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\)

Lời giải chi tiết :

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = {1^2} - 1 = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = 1 + 1 = 2\)

b) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x} \right) = {1^2} + 1 = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0 + 2 = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\end{array}\)

c) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - x - 2} \right) = {1^2} - 1 - 2 = - 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0 - 2 = - 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\end{array}\)

d) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right) = {1^3} + {1^2} - 1 - 1 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0.2 = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\end{array}\)

e) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 1} \right) = 1 - 1 = 0\\\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}} = \frac{0}{2} = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}.\end{array}\)


Câu hỏi:

Luyện tập, vận dụng 2

Tính:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right];\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} + x + 3} .\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng định lí về phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\)\(\left( {L,M \in \mathbb{R}} \right)\)thì

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)\)

Nếu \(f(x) \ge 0\)với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \).

Lời giải chi tiết :

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 2x} \right) = \left( {2 + 1} \right).\left( {{2^2} + 2.2} \right) = 24\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} + x + 3} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + x + 3} \right)} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3} = \sqrt {{2^2} + 2 + 3} = 3\)


Câu hỏi:

Hoạt động 3

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1,\,\,x < 0\\0,\,\,x = 0\\1,\,\,x > 0\end{array} \right.\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị ở Hình 6.

image

a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} < 0\) và \(\lim {u_n} = 0.\) Xác định \(f\left( {{u_n}} \right)\) và tìm \(\lim f\left( {{u_n}} \right).\)

b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) sao cho \({v_n} > 0\) và \(\lim {v_n} = 0.\) Xác định \(f\left( {{v_n}} \right)\) và tìm \(\lim f\left( {{v_n}} \right).\)

Hướng dẫn giải :

Quan sát đồ thị hình 6 để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết :

a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} < 0\) và \(\lim {u_n} = 0.\) Khi đó \(f\left( {{u_n}} \right) = - 1\) và \(\lim f\left( {{u_n}} \right) = - 1.\)

b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) sao cho \({v_n} > 0\) và \(\lim {v_n} = 0.\) Khi đó \(f\left( {{v_n}} \right) = 1\) và \(\lim f\left( {{v_n}} \right) = 1.\)


Câu hỏi:

Luyện tập, vận dụng 3

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4} + x} \right)\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng định nghĩa giới hạn một phía.

- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\)khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L\).

- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Số L là giới hạn bên của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\).

Lời giải chi tiết :

Với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì \({x_n} > - 4\) và \({x_n} \to - 4,\) ta có:

\(\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} \left( {\sqrt {{x_n} + 4} + {x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} \sqrt {{x_n} + 4} + \mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} {x_n} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} \left( {{x_n} + 4} \right)} + \left( { - 4} \right)\\ = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} {x_n} + 4} - 4 = \sqrt { - 4 + 4} - 4 = - 4\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4} + x} \right) = - 4\)

Dụng cụ học tập

Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Sách Giáo Khoa: Cánh diều

- Bộ sách Cánh Diều được lựa chọn bởi phù hợp nhiều đối tượng học sinh. Mỗi cuốn sách giáo khoa Cánh Diều đều chứa đựng rất nhiều sáng tạo, tâm huyết, mang đầy tri thức và cảm xúc của các tác giả biên soạn.

Đọc sách

Bạn có biết?

Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 11

Lớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'

- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.

Nguồn : Sưu tập

Copyright © 2024 Giai BT SGK