Giải mục 1 trang 16, 17 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Cho \(a = \frac{\pi}{6}, b = \frac{\pi}{3}\). Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b)...

Câu hỏi:

a) Cho \(a = \frac{\pi}{6}, b = \frac{\pi}{3}\). Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b). Từ đó rút ra đẳng thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (*).

b) Tính sin(a – b) bằng cách biến đổi sin(a – b) = sin[a + (‒b)] và sử dụng công thức (*).

Hướng dẫn giải :

Dựa vào công thức sin, cos đã học để xác định

Lời giải chi tiết :

a) Với \(a = \frac{\pi}{6}\) ta có \(sin a = sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}\); \(cos a = cos\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt 3}{2}\)

Với \( b = \frac{\pi}{3}\) ta có \(sin b = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt 3}{2}\); \(cosb = cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)

Ta có \(sin(a+b) = sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3})=sin \frac{\pi}{2}=1\)

\( sinacosb + cosasinb = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}.\frac{\sqrt 3}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\)

Do đó sin(a+b) = sina.cosb +cosa.sinb (vì cùng bằng 1)

b) Ta có sin(a – b) = sin[a + (‒b)]

= sina cos(‒b) + cosa sin(‒b)

= sina cosb + cosa (‒sinb)

= sina cosb ‒ cosa sinb

Câu hỏi:

Tính \(\sin \frac{\pi }{{12}}\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức cộng đối với sin

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức cộng, ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}.\cos \frac{\pi }{6} - \cos \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

Câu hỏi:

a) Tính \(\cos \left( {a + b} \right)\) bằng cách biến đổi \(\cos \left( {a + b} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a + b} \right)} \right] = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right]\) và sử dụng công thức cộng đối với sin

b) Tính \(\cos \left( {a - b} \right)\) bằng cách biến đổi \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]\) và sử dụng công thức \(\cos \left( {a + b} \right)\) có được ở câu a

Hướng dẫn giải :

Dựa vào công thức cộng sin đã chứng minh ở bên trên để tính

Lời giải chi tiết :

a) \(\cos \left( {a + b} \right) = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right] = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right).\cos b - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right).\sin b = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\)

b) \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right] = \cos a.\cos \left( { - b} \right) - \sin a.\sin \left( { - b} \right) = \sin a.\sin b + \cos a.\cos b\)

Câu hỏi:

Tính \(\cos {15^ \circ }\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức cộng dối với cosin

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức cộng, ta có:

\(\begin{array}{l}\cos {15^ \circ } = \cos ({45^ \circ } - {30^ \circ }) = \cos {45^ \circ }\cos {30^ \circ } + \sin {45^ \circ }\sin {30^ \circ }\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

Câu hỏi:

a) Sử dụng công thức cộng đối với sin và côsin, hãy tính \(\tan \left( {a + b} \right)\) theo tan a và tan b khi các biểu thức đều có nghĩa

b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính \(\tan \left( {a - b} \right)\) bằng cách biến đổi \(\tan \left( {a - b} \right) = \tan \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]\) và sử dụng công thức \(\tan \left( {a + b} \right)\) có được ở câu a.

Hướng dẫn giải :

Dựa vào công thức cộng sin, cos đã chứng minh ở bên trên để tính

Lời giải chi tiết :

a) \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}} = \frac{{\sin a.\cos b + \cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\sin a.\cos b + \cos a.\cos b}}{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}} = \frac{{\sin a.\cos b}}{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}} + \frac{{\cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}}\\ = \frac{{\frac{{\sin a.\cos b}}{{\cos a.\cos b}}}}{{\frac{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}} + \frac{{\frac{{\cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}}{{\frac{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}} = \frac{{\tan a}}{{1 - \tan a.\tan b}} + \frac{{\tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\\ = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\)

b)

\(\tan \left( {a - b} \right) = \tan \left( {a + \left( { - b} \right)} \right) = \frac{{\tan a + \tan \left( { - b} \right)}}{{1 - \tan a.\tan \left( { - b} \right)}} = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)

Câu hỏi:

Tính \(\tan {165^ \circ }\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức cộng đối với tang

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\tan {165^ \circ } = \tan ({105^ \circ } + {60^ \circ }) = \frac{{\tan {{105}^ \circ } + \tan {{60}^ \circ }}}{{1 - \tan {{105}^ \circ }.\tan {{60}^ \circ }}}\\ = \frac{{ - 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 }}{{1 - ( - 2 - \sqrt 3 ).\sqrt 3 }} = - 2 + \sqrt 3 \end{array}\)