Bài 22 trang 67 SBT toán 10 Cánh diều: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(4 ; −2), B(10;...

Đề bài :

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(4 ; −2), B(10; 4) và điểm M nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải :

Bước 1: Tham số hóa điểm M

Bước 2: Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

Bước 3: Tách vectơ trong biểu thức sao cho xuất hiện vectơ \(\overrightarrow {MI} \) và đánh giá biểu thức

Bước 4: Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn giả thiết

Lời giải chi tiết :

Do M \( \in Ox\) nên M(a; 0)

Gọi I là trung điểm AB \( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \) và I(7; 1)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right)} \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\)\( = 2MI\)

\(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu của I trên Ox

Mà I(7; 1) \( \Rightarrow M(7;0)\)

Vậy M(7; 0) thì \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất