Bài 13 trang 30 SBT toán 10 Cánh diều: Miền đa giác ABCD ở Hình 9 là miền nghiệm của hệ bất phương trình:...

Đề bài :

Miền đa giác ABCD ở Hình 9 là miền nghiệm của hệ bất phương trình:

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 4}\\{x + y \ge  - 1}\\{x - y \le 2}\\{x - y \ge  - 2}\end{array}} \right.\)                   B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 4}\\{x - y \ge  - 1}\\{x + y \le 2}\\{x + y \ge  - 2}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 1}\\{x + y \ge  - 4}\\{x - y \le 2}\\{x - y \ge  - 2}\end{array}} \right.\)                   D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 1}\\{x - y \ge  - 4}\\{x + y \le 2}\\{x + y \ge  - 2}\end{array}} \right.\)

Phương pháp giải :

• Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng chia mặt phẳng thành hai phần có dạng \(ax + by = c\)
• Bước 2: Lấy một điểm \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\)thuộc miền nghiệm của bất phương trình, thay tọa độ của điểm M vào \(ax + by\) rồi so sánh với c để xác định bất phương trình cần tìm

Lời giải chi tiết :

Chọn A

+) Gọi d₁ là đường thẳng đi qua hai điểm A và D. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (– 2; 0) và (0; 2) nên phương trình đường thẳng d là: \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y =  - 2\)

Lấy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) ta có \(0 - 0 = 0 >  - 2\)

Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình \(x - y \ge  - 2\)

+) Gọi \({d_2}\) là đường thẳng đi qua hai điểm A và D. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm \(\left( {4;0} \right)\) và \(\left( {0;4} \right)\)nên phương trình đường thẳng d là: \(\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow x + y = 4\)

Lấy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) ta có \(0 + 0 = 0 < 4\)

Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình \(x + y \le 4\)

+) Gọi d₃ là đường thẳng đi qua hai điểm B và C. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (2; 0) và (0; – 2) nên phương trình đường thẳng d là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow x - y = 2\)

Lấy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) ta có \(0 - 0 = 0 < 2\)

Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình \(x - y \le 2\)

Gọi d₄ là đường thẳng đi qua hai điểm D và C. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (– 1; 0) và (0; – 1) nên phương trình đường thẳng d là: \(\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{{ - 1}} = 1 \Leftrightarrow x + y =  - 1\)

Lấy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) ta có 0 + 0 =0 > -1

Mà điểm O thuộc miền nghiệm cuẩ hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình \(x + y \ge  - 1\)

Từ đó ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \ge  - 2}\\{x + y \le 4}\\{x - y \le 2}\\{x + y \ge  - 1}\end{array}} \right.\)

Chọn A