Bài 5 trang 72 Toán 10 tập 2 – Cánh diều: Cho ba điểm A(1; 1), B(4;3) và C(0;- 2)....

Đề bài :

Cho ba điểm A(1; 1), B(4;3) và C(0;- 2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD= 2AB.

Phương pháp giải :

a) Hai vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\) (\(\overrightarrow v  \ne 0\) ) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho \({x_1}{\rm{ =  }}k{x_2}\) và \({y_1} = {\rm{ }}k{y_2}\) .

b) Tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD= 2AB thì 2 vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) phải cùng phương và độ lớn vectơ \(\overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {AB} \)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 3} \right)\)

Do \(\overrightarrow {AB}  \ne k.\overrightarrow {AC} \) nên A, B, C không thẳng hàng

b) Giả sử tọa độ điểm D là:\(D\left( {{x_D},{y_D}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {CD}  = \left( {{x_D} - 0;{y_D} - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {{x_D};{y_D} + 2} \right)\)

Để tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD= 2AB thì \(\overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {AB} \)

Vậy nên \(\overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2.3\\{y_D} + 2 = 2.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 6\\{y_D} = 2\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ D là: \(D\left( {6;2} \right)\)