Bài 28 trang 70 SBT Toán 8 – Cánh diều: Quan sát Hình 28 biết \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}, \widehat{BAC}=\widehat{BML}\). Chứng minh: \(\Delta AMN\backsim \Delta MBL\)...

Đề bài :

Quan sát Hình 28 biết \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC},\widehat{BAC}=\widehat{BML}\).

a) Chứng minh: \(\Delta AMN\backsim \Delta MBL\).

b) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên cạnh \(AB\) để chu vi tam giác \(AMN\) bằng \(\frac{2}{3}\) chu vi tam giác \(ABC\).

Hướng dẫn giải :

Dựa vào định nghĩa của tam giác đồng dạng:

Tam giác \(A’B’C’\) gọi là đồng dạng với tam giác \(ABC\) nếu:

\(\widehat{A’}=\widehat{A},\widehat{B’}=\widehat{B},\widehat{C’}=\widehat{C}\) ; \(\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}=\frac{A’C’}{AC}\).

Kí hiệu là \(\Delta A’B’C’\backsim \Delta ABC\).

Tỉ số các cạnh tương ứng \(\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}=\frac{C’A’}{CA}=k\) gọi là tỉ số đồng dạng.

Và công thức tính chu vi tam giác.

Lời giải chi tiết :

a) Vì \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) nên \(MN//BC\). Do đó \(\Delta AMN\backsim \Delta ABC\) (1)

Vì \(\widehat{BAC}=\widehat{BML}\) nên \(ML//AC\). Do đó \(\Delta MBL\backsim \Delta ABC\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\Delta AMN\backsim \Delta MBL\),

b) Giả sử \(\Delta AMN\backsim \Delta ABC\) với tỉ số đồng dạng \(k\), ta có:

\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=k\).

→ \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{AM+AN+MN}{AB+AC+BC}=k\) hay (Chu vi tam giác \(AMN\)) : (Chu vi tam giác \(ABC\)) \(=k\).

Do đó để chu vi tam giác \(AMN\) bằng \(\frac{2}{3}\) chu vi tam giác \(ABC\) thì \(AM=\frac{2}{3}AB\).

Ngược lại, dễ thấy nếu \(AM=\frac{2}{3}AB\) thì chu vi tam giác \(AMN\) bằng \(\frac{2}{3}\) tam giác \(ABC\).

Vậy vị trí của điểm \(M\) trên cạnh \(AB\) để chu vi tam giác \(AMN\) bằng chu vi tam giác \(ABC\) là \(AM=\frac{2}{3}AB\).