Bài 5 trang 88 SBT Toán 8 - Cánh diều: Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\)...

Đề bài :

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Qua \(A\) kẻ đường thẳng \(d\) bất kì sao cho đường thẳng \(d\) không cắt đoạn thẳng \(BC\). Gọi \(D,E\) lần lượt là hình chiếu của \(B,C\) trên đường thẳng \(d\). Chứng minh \(A{D^2} + A{E^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng \(d\).

Hướng dẫn giải :

Dựa vào các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông và định lí Pythagore trong tam giác vuông để chứng minh \(A{D^2} + A{E^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng \(d\).

Lời giải chi tiết :

Ta chứng minh được:

\(\widehat {BAD} + \widehat {ABD} = 90^\circ \) và \(\widehat {BAD} + \widehat {CAE} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {CAE}\).

\(\Delta ABD = \Delta CAE\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \(AD = CE\)

Do đó \(A{D^2} + A{E^2} = C{E^2} + A{E^2} = A{C^2}\) (vì tam giác \(CAE\) vuông tại \(E\))

Vậy \(A{D^2} + A{E^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng \(d\).