Bài 13 trang 93 SBT Toán lớp 7 tập 1 Cánh diều: Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.MNPQ có đáy là hình thang vuông ABC...

Đề bài :

Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.MNPQ có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại B (AD song song với BC) với \(AB = 20{\rm{ cm}}\), \(AD = 11{\rm{ cm}}\), \(BC = 15{\rm{ cm}}\) (Hình 21).

a) Tính tỉ số giữa thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.MNP và thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.MNPQ.

b) Tính tỉ số phần trăm giữa thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác ABD.MNQ và thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác BCD.NPQ.

c) So sánh thể tích của hai hình lăng trụ đứng tam giác ABD.MNQ và ACD.MPQ.

Phương pháp giải :

a) Để tính tỉ số giữa thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.MNP và thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.MNPQ, ta cần tính diện tích hai đáy tương ứng với hai hình.

b) Để tính tỉ số phần trăm giữa thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác ABD.MNQ và thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác BCD.NPQ, ta cần tính diện tích hai đáy tương ứng với hai hình rồi nhân với 100%.

c) Muốn so sánh thể tích của hai hình lăng trụ, ta so sánh diện tích và chiều cao tương ứng của hai hình với nhau.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\({S_{ABC}} = \dfrac{{20{\rm{ }}.{\rm{ }}15}}{2} = 150{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2});{S_{ABCD}} = \dfrac{{(11 + 15){\rm{ }}.{\rm{ }}20}}{2} = 260{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2})\).

Tỉ số giữa thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.MNP và thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.MNPQ là:

\(\dfrac{{{V_{ABC.MNP}}}}{{{V_{ABCD.MNPQ}}}} = \dfrac{{{S_{ABC}}{\rm{ }}.{\rm{ }}BN}}{{{S_{ABCD}}{\rm{ }}.{\rm{ }}BN}} = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{150}}{{260}} = \dfrac{{15}}{{26}}\).

b) Ta có:

\({S_{ABD}} = \dfrac{{20{\rm{ }}.{\rm{ }}11}}{2} = 110{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2});{S_{BCD}} = \dfrac{{15{\rm{ }}.{\rm{ }}20}}{2} = 150{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2})\).

Tỉ số phần trăm giữa thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác ABD.MNQ và thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác BCD.NPQ là:

\(\dfrac{{{V_{ABD.MNQ}}{\rm{ }}.{\rm{ }}100\% }}{{{V_{BCD.NPQ}}}} = \dfrac{{{S_{ABD}}{\rm{ }}.{\rm{ }}BN{\rm{ }}.{\rm{ }}100\% }}{{{S_{BCD}}{\rm{ }}.{\rm{ }}BN}} = \dfrac{{{S_{ABD}}{\rm{ }}.{\rm{ }}100\% }}{{{S_{BCD}}}} = \dfrac{{110{\rm{ }}.{\rm{ }}100\% }}{{150}} = 73,(3)\% \).

c) Ta có:

\({S_{ABC}} = 150{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2});{S_{ACD}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABC}} = 260 - 150 = 110{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2})\).

\({S_{ABD}} = 110{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2})\).

Suy ra:

      \(\begin{array}{l}{S_{ACD}} = {S_{ABD}}\\ \Rightarrow {S_{ACD}}{\rm{ }}.{\rm{ }}BN = {S_{ABD}}{\rm{ }}.{\rm{ }}BN\\ \Rightarrow {V_{ABD.MNQ}} = {V_{ACD.MPQ}}\end{array}\)

Vậy thể tích của hai hình lăng trụ đứng tam giác ABD.MNQ và ACD.MPQ bằng nhau.