Bài 36 trang 78 SBT Toán lớp 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90°. Lấy hai điểm M, N nằm ngoài tam giác ABC sao...

Đề bài :

Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90°. Lấy hai điểm M, N nằm ngoài tam giác ABC sao cho MA vuông góc với AB, NA vuông góc với AC và MA = AB, NA = AC. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BN với AC, MC (Hình 24).

Chứng minh:

a) ∆AMC = ∆ABN;

b) BN vuông góc với CM.

Phương pháp giải :

- Xét các điều kiện về cạnh và góc để chứng minh  ∆AMC = ∆ABN

- Từ hai tam giác bằng nhau suy ra các góc tương ứng bằng nhau để chứng minh cho BN vuông góc với CM.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\(\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = 90^\circ  + \widehat {BAC}\)

\(\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = 90^\circ  + \widehat {BAC}\)

Suy ra: \(\widehat {MAC} = \widehat {NAB}\)

Xét ∆AMC và ∆ABN có:

MA = AB (giả thiết),

\(\widehat {MAC} = \widehat {NAB}\) (chứng minh trên),

AC = AN (giả thiết)

Suy ra ∆AMC = ∆ABN (c.g.c).

Vậy ∆AMC = ∆ABN.

b) Do ∆AMC = ∆ABN (chứng minh câu a)

Suy ra \(\widehat {ACM} = \widehat {ANB}\) (hai góc tương ứng).

Mặt khác, \(\widehat {KIC} + \widehat {AIN}\) (đối đỉnh).

Suy ra \(\widehat {ACM} + \widehat {KIC} = \widehat {ANB} + \widehat {AIN}\)

Xét ∆AIN vuông tại A có: \(\widehat {ANI} + \widehat {AIN} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Hay \(\widehat {ANB} + \widehat {AIN} = {90^o}\)

Do đó \(\widehat {ACM} + \widehat {KIC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ICK} + \widehat {KIC} = 90^\circ \)

 Xét ∆KIC, có: \(\widehat {ICK} + \widehat {KIC} + \widehat {IKC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra \(\widehat {IKC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ICK} + \widehat {KIC}} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \)

Do đó BN vuông góc với  MC.

Vậy BN vuông góc với  MC.