Bài 64 trang 87 SBT Toán lớp 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC vuông tại A có (hat C = 30^circ ). Đường trung trực của BC cắt...

Đề bài :

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\hat C = 30^\circ \). Đường trung trực của BC cắt AC tại M. Chứng minh:

a) BM là tia phân giác của góc ABC;

b) MA < MC.

Phương pháp giải :

- Chứng minh: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) suy ra BM là tia phân giác của góc ABC

- Chứng minh: MA < MB và MA = MC suy ra MA < MC

Lời giải chi tiết :

a) Vì DABC vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \hat C = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90^o).

Suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ  - \hat C = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \)

Vì điểm M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC.

Do đó tam giác MBC cân ở M.

Suy ra \({\hat B_1} = \hat C = 30^\circ \)

Mặt khác \({\hat B_1} + {\hat B_2} = \widehat {ABC} = 60^\circ \) (hai góc kề nhau)

Nên \({\hat B_2} = \widehat {ABC} - {\hat B_1} = 60^\circ  - 30^\circ  = 30^\circ \)

Suy ra \({\hat B_2} = {\hat B_1}\)

Do đó BM là tia phân giác của góc ABC.

Vậy BM là tia phân giác của góc ABC.

b) Trong tam giác vuông ABM có MA < MB (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Mà MB = MC (chứng minh câu a).

Suy ra MA < MC.

Vậy MA < MC.