Bài 82 trang 92 SBT Toán lớp 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC vuông tại C có ˆCAB=60°CAB^=60° , AE là tia phân giác của góc CAB (...

Đề bài :

Cho tam giác ABC vuông tại C có ˆCAB=60°CAB^=60° , AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh:

a) EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA;

b) EC = ED = EK.

Phương pháp giải :

- Chứng mính: \(\widehat {KEB} = \widehat {DEB}\) suy ra EB là tía phân giác của góc DEK, \(\widehat {KEA} = \widehat {KEB}\) suy ra EK là tia phân giác của góc BEA.

- Chứng minh: ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra CE = KE và chứng minh ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra EK = ED. Từ đó suy ra EC  = ED = EK.

Lời giải chi tiết :

a) Tam giác ABC vuông tại C có \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra \(\widehat {CBA} = 90^\circ  - \widehat {CAB} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \).

Tam giác EBK vuông tại K có (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra \(\widehat {KEB} = 90^\circ  - \widehat {KBE} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \).

•Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên \(\widehat {CAE} = \widehat {BAE} = \frac{1}{2}\widehat {CAB} = \frac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ \).

Tam giác ACE vuông tại C có \(\widehat {CEA} + \widehat {CAE} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra \(\widehat {CEA} = 90^\circ  - \widehat {CAE} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \)

Do đó \(\widehat {DEB} = \widehat {CEA} = 60^\circ \) (hai góc đối đỉnh).

Ta có \(\widehat {KEB} = \widehat {DEB}\) (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK.

•Ta có \(\widehat {KEA} + \widehat {KED} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Hay \(\widehat {KEA} + \widehat {KEB} + \widehat {BED} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {KEA} = 180^\circ  - \widehat {KEB} - \widehat {BED} = 180^\circ  - 60^\circ  - 60^\circ  = 60^\circ \)

Do đó \(\widehat {KEA} = \widehat {KEB}\) (cùng bằng 60°).

Nên EK là tia phân giác của góc BEA.

Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA.

b) Xét ∆ACE và ∆AKE có:

\(\widehat {ACE} = \widehat {AKE}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AE là cạnh chung,

\(\widehat {CAE} = \widehat {KAE}\) (chứng minh câu a).

Do đó ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = KE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét ∆EKB và ∆EDB có:

\(\widehat {EKB} = \widehat {E{\rm{D}}B}\left( { = 90^\circ } \right)\)

BE là cạnh chung,

\(\widehat {KEB} = \widehat {DEB}\) (chứng minh câu a)

Do đó ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra KE = DE (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có EC = EK = ED.

Vậy EC = ED = EK.