Bài 2 trang 111 Toán 7 tập 2 Cánh diều: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:...

Đề bài :

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \);                                       

b) \(\widehat {BIC} = 90^\circ  + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\).

Phương pháp giải :

a) Dựa vào tính chất của đường phân giác: chia các góc tại các đỉnh thành hai góc bằng nhau.

b) Dựa vào kết quả của phần a).

Lời giải chi tiết :

a) I là giao điểm của ba đường phân giác tại ba góc A, B, C nên:

     \(\widehat {IAB} = \widehat {IAC};\widehat {IBA} = \widehat {IBC};\widehat {ICB} = \widehat {ICA}\).

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên:

     \(\begin{array}{l}\widehat {BAC} + \widehat {ACB} + \widehat {CBA} = 180^\circ \\\widehat {IAB} + \widehat {IAC} + \widehat {IBA} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} + \widehat {ICA} = 180^\circ \\2\widehat {IAB} + 2\widehat {IBC} + 2\widehat {ICA} = 180^\circ \end{array}\)

Vậy \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \).

b) Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°. Xét tam giác BIC:

\(\begin{array}{l}\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ \\\widehat {BIC} = 180^\circ  - (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\end{array}\).

Mà  \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \)→ \(\widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ  - \widehat {IAB}\).

Vậy: \(\begin{array}{l}\widehat {BIC} = 180^\circ  - (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\\\widehat {BIC} = 180^\circ  - (90^\circ  - \widehat {IAB})\\\widehat {BIC} = 90^\circ  + \widehat {IAB}\end{array}\)

Mà \(\widehat {IAB} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\)(IA là phân giác của góc BAC).

Vậy \(\widehat {BIC} = 90^\circ  + \widehat {IAB} = 90^\circ  + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\).