Lý thuyết Ôn tập chương 1. Số tự nhiên: Khi nào thì a chia hết cho b?...

I. Ôn tập số tự nhiên

1. Tập hợp

a) Định nghĩa

Tập hợp là khái niệm cơ bản thường dùng trong toán học và cuộc sống. Ta hiểu tập hợp thông qua các ví dụ.

b) Cách viết tập hợp

+ Tên tập hợp được viết bằng các chữ cái in hoa : A ; B ; C ;...

+ Để viết tập hợp thường có hai cách :

- Liệt kê các phần tử của tập hợp

- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó

c) Kí hiệu:

+) \(3 \in A\) đọc là \(3\) thuộc A hoặc \(3\) là phần tử của A.

+) \(7 \notin A\) đọc là \(7\) không thuộc A hoặc \(7\) không là phần tử của A.

2. Tập hợp các số tự nhiên

Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là $N$ , tập hợp các số tự nhiên khác \(0\) kí hiệu là \({N^*}\) .

Ta có

$N = \left\{ {0;1;2;3;4;......} \right\}$

${N^*} = \left\{ {1;2;3;4;......} \right\}$

Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm trên tia số. Trên tia số, điểm biểu diễn số nhỏ ở bên trái điểm biểu diễn số lớn.

3. Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên

a) So sánh hai số tự nhiên

+ Trong hai số tự nhiên khác nhau, có một số nhỏ hơn số kia, ta viết \(a < b\) hoặc \(b > a.\)

Ngoài ra ta cũng viết \(a \ge b\) để chỉ \(a > b\) hoặc \(a = b.\)

+ Nếu \(a < b\) và \(b < c\) thì \(a < c.\)

+ Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị. Mỗi số tự nhiên có một số liền sau duy nhất và một số liền trước duy nhất.

+ Số 0 là số tự nhiên bé nhất

b) Ghi số tự nhên

Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân, người ta dùng mười chữ số là \(0;1;2;3;4;5;6;7;8;9.\)

Trong hệ thập phân, cứ mười đơn vị của một hàng thì làm thành đơn vị của hàng liền trước đó.

Ví dụ: \(\overline {abc} = a.100 + b.10 + c\) với \(a \ne 0.\)

Ngoài cách ghi số tự nhiên như trên ta còn sử dụng cách ghi số La Mã.

Trong hệ La mã để ghi số tự nhiên người ta dùng bảy chữ số \(I;V;X;L;C;D;M\) có giá trị tương ứng trong hệ thập phân là \(1;5;10;50;100;500;1000\). Mỗi chữ số La Mã không viết liền nhau quá ba lần nên sáu số đặc biệt (trong các số này, chữ số có giá trị nhỏ đứng trước chữ số có giá trị lớn làm giảm giá trị của chữ số có giá trị lớn) là \(IV;IX;XL;XC;XD\) (có giá trị trong hệ thập phân tương ứng là \(4;9;40;90;400;900.\))

4. Các phép toán về số tự nhiên

a) Phép cộng

$a + b = c$

(số hạng) + (số hạng) = (tổng)

b) Phép nhân

$a.b = d$(thừa số) . (thừa số) = (tích)

Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên

c. Phép trừ

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b,$ nếu có số tự nhiên $x$ sao cho $b + x = a$ thì ta có phép trừ

$a - b = x$

(số bị trừ) - (số trừ) = (hiệu)

Chú ý: Điều kiện để thực hiện được phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ.

d. Phép chia

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b,$ trong đó $b \ne 0,$ nếu có số tự nhiên $x$ sao cho $b.x = a$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b$ và ta có phép chia hết $a:b = x$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Tổng quát:

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b,$ trong đó $b \ne 0,$ ta luôn tìm được hai số tự nhiên $q$ và $r$ duy nhất sao cho:

$a = b.q + r$ trong đó $0 \le r < b$

(số bị chia) = (số chia) . (thương) + (số dư)

Nếu $r = 0$ thì ta có phép chia hết.

Nếu $r \ne 0$ thì ta có phép chia có dư.

Chú ý:

Tính chất phân phối của phép chia với phép trừ

\(ab - ac = a\left( {b - c} \right)\)

5. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

a. Định nghĩa

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a :

${a^n} = a.a \ldots ..a$ ($n$ thừa số $a$ ) ($n$ khác $0$ )

$a$ được gọi là cơ số.

$n$ được gọi là số mũ.

${a^2}$ gọi là $a$ bình phương (hay bình phương của $a$ );

${a^3}$ gọi là $a$ lập phương (hay lập phương của $a$ )

Quy ước: ${a^1} = a$; ${a^0} = 1\left( {a \ne 0} \right).$

b. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.

c. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

${a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}$ \(\left( {a \ne 0;\,m \ge n \ge 0} \right)\)

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

d. Mở rộng

+) Lũy thừa của lũy thừa

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\)

+) Lũy thừa của một tích

\({\left( {a.b} \right)^m} = {a^m}.{b^m}\)

6. Thứ tự thực hiện phép tính

a. Đối với biểu thức không có dấu ngoặc

+ Nếu phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia, ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

+ Nếu phép tính có cả cộng , trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân chia, cuối cùng đến cộng trừ.

Lũy thừa \( \to \) nhân và chia \( \to \) cộng và trừ.

b. Đối với biểu thức có dấu ngoặc.

Nếu biểu thức có các dấu ngoặc : ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện phép tính theo thứ tự : \(\left( {} \right) \to \left[ {} \right] \to \left\{ {} \right\}\)

II. Ôn tập quan hệ chia hết

1. Quan hệ chia hết

Khi nào thì a chia hết cho b?

Cho hai số tự nhiên \(a\) và \(b,\) trong đó \(b \ne 0,\) nếu có số tự nhiên \(x\) sao cho \(b.x = a\) thì ta nói \(a\) chia hết cho \(b\) và ta có phép chia hết \(a:b = x\), kí hiệu là \(a \vdots b\).

Ước và bội

a. Định nghĩa

- Nếu có số tự nhiên $a$ chia hết cho số tự nhiên $b$ thì ta nói $a$ là bội của $b,$ còn $b$ là ước của $a.$

b. Cách tìm bội

- Ta có thể tìm các bội của một số khác \(0\) bằng cách nhân số đó lần lượt với $0,1,2,3,...$

c. Cách tìm ước

- Ta có thể tìm các ước của $a$\(\left( {a > 1} \right)\) bằng cách lần lượt chia $a$ cho các số tự nhiên từ $1$ đến $a$ để xét xem $a$ chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của $a.$

Tính chất chia hết của môt tổng

- Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

\(a\, \vdots \,m;\,b \vdots m;\,c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots m\)

- Tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.

$a \not {\vdots\, m};\,b \vdots m;\,c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \not {\vdots}\, m$

Mở rộng

Tính chất 3: \(a \vdots m \Rightarrow k.a \vdots m\,\,\left( {k \in N} \right)\)

Tính chất 4: \(a \vdots m;\,b \vdots m \Rightarrow ab \vdots m\)

Tính chất 5: \(a \vdots b \Rightarrow {a^n} \vdots {b^n}\)

2. Dấu hiệu chia hết

3. Số nguyên tố, hợp số

a. Định nghĩa

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1,$ chỉ có $2$ ước là $1$ và chính nó.

- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn $1,$ có nhiều hơn $2$ ước.

b. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Để tìm một ước nguyên tố của \(a\) ta có thể làm như sau:

Bước 1: Chia \(a\) cho các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần \(2,3,5,7,11,13,...\)

Bước 2: Số chia trong phép chia hết đầu tiên là một ước của \(a\)

- Phân tích một số tự nhiên lớn hơn \(1\) ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

- Viết các thừa số nguyên tố theo thứ tự từ bé đến lớn, tích các thừa số giống nhau dưới dạng lũy thừa.

Các cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố.

Sơ đồ cột:

Chia số \(n\) cho một số nguyên tố (xét từ nhỏ đến lớn ), rồi chia thương tìm được cho một số nguyên tố (cũng xét từ nhỏ đến lớn), cứ tiếp tục như vậy cho đến khi thương bằng \(1.\)

Sơ đồ cây:

Bước 1: Phân tích số n thành tích của hai số bất kì khác 1 và chính nó.

Bước 2: Tiếp tục phân tích ước thứ nhất và ước thứ hai thành tích của hai số bất kì khác 1 và chính nó.

Bước 3: Cứ như vậy đến khi nào xuất hiện số nguyên tố thì dừng lại.

Bước 4: Số n bằng tích của các số cuối cùng của mỗi nhánh.

Nhận xét:

* Cách tính số lượng các ước của một số $m\left( {m > 1} \right)$: ta xét dạng phân tích của số m ra thừa số nguyên tố:

Nếu $m = {a^x}$ thì $m$ có $x + 1$ ước

Nếu $m = {a^x}.{b^y}$ thì $m$ có $\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)$ ước

Nếu $m = {a^x}.{b^y}.{c^z}$ thì $m$ có $\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)$ ước.

4 Ước chung và ước chung lớn nhất

a. Ước chung

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Nhận xét:

+) \(x \in \)ƯC\(\left( {a,b} \right)\) nếu \(a \vdots x\) và \(b \vdots x.\)

+) \(x \in \)ƯC\(\left( {a,b,c} \right)\) nếu \(a \vdots x\) ; \(b \vdots x\) và \(c \vdots x.\)

b. Ước chung lớn nhất

+) Định nghĩa: Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

+) Cách tìm ước chung lớn nhất –ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau :

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Chú ý: Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

+) Cách tìm ƯC thông qua ƯCLN

Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có tể tìm các ươc của ƯCLN của các số đó.

Ứng dụng trong rút gọn phân số tối giản

Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho ước chung khác 1 (nếu có) của chúng.

Phân số tối giản: \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản nếu ƯCLN\(\left( {a,b} \right) = 1\)

Đưa một phân số chưa tối giản về phân số tối giản: Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN\(\left( {a,b} \right)\).

5. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

a. Bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Nhận xét:

+) \(x \in BC\left( {a,b} \right)\) nếu \(x \vdots a\) và \(x \vdots b\)

+) \(x \in BC\left( {a,b,c} \right)\) nếu \(x \vdots a\); \(x \vdots b\) và \(x \vdots c\)

b. Bội chung nhỏ nhất

+) Định nghĩa

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

+) Cách tìm bội chung nhỏ nhất-BCNN

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau :

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

+) Cách tìm bội chung thông qua bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Ứng dụng trong tìm mẫu chung của các phân số

Cách 1: Chọn mẫu chung cho hai phân số là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu số đó.

Cách 2: Chọn bội chung bất kì khác 0 của 2 mẫu số đó.