Câu hỏi Khám phá 2 trang 23 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Cho hai hàm số \(y = 4x - {x^2}\) và \(y = x\) lần lượt có đồ thị \(\left( P \right)\) và \(d\) như hình...

Cho hai hàm số \(y = 4x - {x^2}\) và \(y = x\) lần lượt có đồ thị \(\left( P \right)\) và \(d\) như hình 4.

a) Tính diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).

b) Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).

Hướng dẫn giải :

a) Diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} \)

b) Diện tích \({S_2}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|dx} \).

Suy ra diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = {S_1} - {S_2}\).

Lời giải chi tiết :

Diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} \)

Ta thấy rằng với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(4x - {x^2} \ge 0\), do đó:

\({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16}}{3}\)

b) Diện tích \({S_2}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|dx} \).

Ta thấy rằng với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(x \ge 0\), do đó:

\({S_2} = \int\limits_0^2 {xdx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2\)

Vậy diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{16}}{3} - 2 = \frac{{10}}{3}\).