Bài tập 22 trang 30 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Cho \({S_1}\), \({S_2}\) là diện tích các hình phẳng được mô tả trong hìnhTính \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)...

Đề bài :

Cho \({S_1}\), \({S_2}\) là diện tích các hình phẳng được mô tả trong hình 3. Tính \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\).

Hướng dẫn giải :

Diện tích \({S_1} + {S_2}\) chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 4\). Do đó \({S_1} + {S_2} = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} \)

Hình phẳng \({S_1}\) được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 4x\), \(y = x\) và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\). Do đó \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left[ {\left( { - {x^2} + 4x} \right) - x} \right]dx} \).

Từ đó tính được \({S_2}\) và tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\).

Lời giải chi tiết :

Diện tích \({S_1} + {S_2}\) chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 4\). Do đó

\({S_1} + {S_2} = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{32}}{3}\).

Hình phẳng \({S_1}\) được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 4x\), \(y = x\) và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\). Do đó

\({S_1} = \int\limits_0^3 {\left[ {\left( { - {x^2} + 4x} \right) - x} \right]dx} = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 = \frac{9}{2}\).

Suy ra \({S_2} = \frac{{32}}{3} - \frac{9}{2} = \frac{{37}}{6}\) và \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{2}:\frac{{37}}{6} = \frac{{27}}{{37}}\)