Bài 7 trang 86 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào...

Đề bài :

Khoảng tứ phân vị nhỏ hơn thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương đó đồng đều hơn

Độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương đó đồng đều hơn

Hướng dẫn giải :

Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.

a) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào đồng đều hơn?

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào đồng đều hơn?

Lời giải chi tiết :

a) Cỡ mẫu: n = 20

Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{20}}\) là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1} \in [130;160)\); \({x_2} \in [160;190)\);\({x_3} \in [190;220)\);\({x_4}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{11}} \in [220;250)\);\({x_{12}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{18}} \in [250;280)\);\({x_{19}};{x_{20}} \in [280;310)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_5} + {x_6}) \in [220;250)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 220 + \frac{{\frac{{20}}{4} - (1 + 1 + 1)}}{8}(250 - 220) = 227,5\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{15}} + {x_{16}}) \in [250;280)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 250 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (1 + 1 + 1 + 8)}}{7}(280 - 250) = \frac{{1870}}{7}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 39,64\)

Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{50}}\) là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Quy Nhơn được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({y_1}; \in [160;190)\); \({y_2};{y_3} \in [190;220)\);\({y_4};...;{y_7} \in [220;250)\);\({y_8};...;{y_{17}} \in [250;280)\); \({y_{4 = 18}};...;{y_{20}} \in [280;310)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_5} + {y_6}) \in [220;250)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}’ = 220 + \frac{{\frac{{20}}{4} - (1 + 2)}}{4}(250 - 220) = 235\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_{15}} + {y_{16}}) \in [250;280)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}’ = 250 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (1 + 2 + 4)}}{{10}}(280 - 250) = 274\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}’ = {Q_3}’ - {Q_1}’ = 39\)

Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn

b)

Xét số liệu của Nha Trang:

Số trung bình: \(\overline {{x_X}} = \frac{{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}}{{20}} = 242,5\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _X} = \sqrt {\frac{{{{1.145}^2} + {{1.175}^2} + {{1.205}^2} + {{8.235}^2} + {{7.265}^2} + {{2.295}^2}}}{{20}} - 242,{5^2}} \approx 35,34\)

Xét số liệu của Quy Nhơn:

Số trung bình: \(\overline {{x_Y}} = \frac{{1.175 + 2.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}}{{20}} = 253\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _Y} = \sqrt {\frac{{{{1.175}^2} + {{2.205}^2} + {{4.235}^2} + {{10.265}^2} + {{3.295}^2}}}{{20}} - {{253}^2}} \approx 30,59\)

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn