Bài 4 trang 51 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằngGọi M, N, I...

Đề bài :

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm của SA, SD, SC và BC. Tính các góc giữa các đường thẳng sau:

a) IJ và DC;

b) MN và IJ.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng trong không gian để tính: Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b), là góc giữa hai đường thẳng \(a’\) và \(b’\) cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.

Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ \({0^0}\) đến \({90^0}\).

Lời giải chi tiết :

a) Vì I, J lần lượt là trung điểm của SC, BC nên IJ là đường trung bình của tam giác SBC. Do đó, IJ//SB.

Vì tứ giác ABCD có tất cả các cạnh bằng a nên tứ giác ABCD là hình thoi. Do đó, DC//AB.

Do đó, \(\left( {IJ,CD} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}\)

Tam giác SBA có ba cạnh bằng a nên tam giác SBA là tam giác đều. Suy ra, \(\widehat {SBA} = {60^0}\)

b) Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SAD. Do đó, MN//AD.

Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AD//BC nên MN//BC.

Do đó, \(\left( {MN,IJ} \right) = \left( {BC,SB} \right) = \widehat {SBC}\)

Tam giác SBC có ba cạnh bằng a nên tam giác SBC đều. Suy ra \(\widehat {SBC} = {60^0}\)