Bài 5 trang 122 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành...

Đề bài :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).

Lời giải chi tiết :

Gọi N, P, R lần lượt là trung điểm của AD, SD, SB.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, MN//BD.

Vì P, R lần lượt là trung điểm của SD, SB nên PR là đường trung bình của tam giác SBD. Do đó, PR//BD.

Vì MN//BD, PR//BD nên MN//PR.

Suy ra bốn điểm M, N, P, R tạo thành mặt phẳng (MNPR).

Ta có: MN//BD, \(MN \subset \left( {MNPR} \right)\), BD không nằm trong mặt phẳng (MNPR) nên BD//(MNPR).

Chứng minh tương tự ta có: SA//(MNPR).

Vì mặt phẳng (MNPR) đi qua M và song song với BD, SA nên (MNPR) là mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Trong mặt phẳng (SAB), vẽ đường thẳng d đi qua S và d//AB//CD.

Khi đó, giả sử MR cắt d tại I, PI cắt SC tại Q. Suy ra, mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là (MNPI).

Ta có: \(MN \subset \left( {ABCD} \right),MN \subset \left( {MNPI} \right)\) nên \(\left( {MNPI} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\) hay \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\).

Tương tự ta có:

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP,\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = PQ,\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = QR,\left( \alpha \right) \cap \left( {ABS} \right) = MR\)