Bài 3 trang 133 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hànhvà M là trung điểm của SA...

Đề bài :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hànhvà M là trung điểm của SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp S. ABCD, biết rằng (P) đi qua M, song song với SC và AD.

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức về điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng để tìm giao tuyến: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).

+ Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song để tìm giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Gọi O là giao điểm AC và BD, E là trung điểm của CD.

Vì M, O lần lượt là trung điểm của SA, AC nên MO là đường trung bình của tam giác SAC, suy ra SC//MO. Mà \(MO \subset \left( {MOE} \right)\), SC không nằm trong mặt phẳng (MOE) nên SC//(MOE) (1).

Vì E, O lần lượt là trung điểm của CD, AC nên EO là đường trung bình của tam giác DAC, suy ra AD//EO. Mà \(EO \subset \left( {MOE} \right)\), AD không nằm trong mặt phẳng (MOE) nên AD//(MOE) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: Mặt phẳng (P) là mặt phẳng (MOE).

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi F là giao điểm của OE và AB.

Mà \(OE \subset \left( {MOE} \right),AB \subset \left( {ABCD} \right)\) nên \(\left( {MOE} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = EF,\left( {MOE} \right) \cap \left( {ABS} \right) = FM\)

Vì \(M \in \left( {MOE} \right) \cap \left( {SAD} \right),OE//AD\) nên giao tuyến của mặt phẳng (MOE) và mặt phẳng (SAD) là đường thẳng d qua M song song với AD, OE.

Trong mặt phẳng (SAD), gọi N là giao điểm của d và SD.

Do đó, \(\left( {MOE} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MN,\left( {MOE} \right) \cap \left( {SCD} \right) = EN\)