Bài 2 trang 26 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau...

Đề bài :

Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{\sin 3x}}{x}\);

b) \(y = - 5{x^2} + \cos \frac{x}{2}\);

c) \(y = x\sqrt {1 + \cos 2x} \);

d) \(y = \cot x - \frac{2}{{\sin x}}\);

e) \(y = \left| x \right| + \tan x\);

g) \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về tính chẵn lẻ của hàm số để xét tính chẵn lẻ của hàm số: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là:

+ Hàm số chẵn nếu với mọi \(x \in D\) ta có: \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\).

+ Hàm số lẻ nếu với mọi \(x \in D\) ta có: \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết :

a) Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sin 3x}}{x}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa mãn điều kiện \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\).

Ta có: \(\frac{{\sin \left( { - 3x} \right)}}{{ - x}} = \frac{{ - \sin 3x}}{{ - x}} = \frac{{\sin 3x}}{x}\). Do đó, hàm số \(y = \frac{{\sin 3x}}{x}\) là hàm số chẵn.

b) Tập xác định của hàm số \(y = - 5{x^2} + \cos \frac{x}{2}\) là \(D = \mathbb{R}\) thỏa mãn điều kiện \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\)

Ta có: \( - 5{\left( { - x} \right)^2} + \cos \frac{{ - x}}{2} = - 5{x^2} + \cos \frac{x}{2}\). Do đó, hàm số \(y = - 5{x^2} + \cos \frac{x}{2}\) là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số \(y = x\sqrt {1 + \cos 2x} \) là \(D = \mathbb{R}\) thỏa mãn điều kiện \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\)

Ta có: \(\left( { - x} \right)\sqrt {1 + \cos \left( { - 2x} \right)} = - x\sqrt {1 + \cos 2x} \). Do đó, hàm số \(y = x\sqrt {1 + \cos 2x} \) là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số \(y = \cot x - \frac{2}{{\sin x}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\) thỏa mãn điều kiện \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\).

Ta có: \(\cot \left( { - x} \right) - \frac{2}{{\sin \left( { - x} \right)}} = - \cot x + \frac{2}{{\sin x}} = - \left( {\cot x - \frac{2}{{\sin x}}} \right)\). Do đó, hàm số \(y = \cot x - \frac{2}{{\sin x}}\) là hàm số lẻ.

e) Tập xác định của hàm số \(y = \left| x \right| + \tan x\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\) thỏa mãn điều kiện \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\).

Ta có: \(\left| { - x} \right| + \tan \left( { - x} \right) = x - \tan x\). Do đó, hàm số \(y = \left| x \right| + \tan x\) không là hàm số chẵn, không là hàm số lẻ

g) Tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\) không thỏa mãn điều kiện \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\) vì \(\frac{{ - \pi }}{4} \in D\) nhưng \(\frac{\pi }{4}\cancel{ \in }D\)

Do đó, hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.