Bài 9 trang 98 Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Một hộp có 5 quả bóng xanh, 6 quả bóng đỏ và 4 quả bóng vàng có kích thước...

Đề bài :

Một hộp có 5 quả bóng xanh, 6 quả bóng đỏ và 4 quả bóng vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Chọn ra ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng. Tính xác suất của các biến cố:

\(A\): “Cả 4 quả bóng lấy ra có cùng màu”;

\(B\): “Trong 4 bóng lấy ra có đủ cả 3 màu”.

Hướng dẫn giải :

‒ Sử dụng công thức tính xác suất: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).

‒ Sử dụng quy tắc cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc: Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc. Khi đó: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Lời giải chi tiết :

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 15 quả bóng có \({C}_{15}^4 = 1365\) cách.

\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 1365\)

Gọi \({A_1}\) là biến cố “Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu xanh”, \({A_2}\) là biến cố “Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu đỏ”, \({A_3}\) là biến cố “Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu vàng”.

Vậy \(A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}\) là biến cố “Cả 4 quả bóng lấy ra có cùng màu”.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có \({C}_5^4 = 5\) cách.

\( \Rightarrow n\left( {{A_1}} \right) = 5 \Rightarrow P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{n\left( {{A_1}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{1365}} = \frac{1}{{273}}\)

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có \({C}_6^4 = 15\) cách.

\( \Rightarrow n\left( {{A_2}} \right) = 15 \Rightarrow P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{n\left( {{A_2}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{15}}{{1365}} = \frac{1}{{91}}\)

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có \({C}_4^4 = 1\) cách.

\( \Rightarrow n\left( {{A_3}} \right) = 1 \Rightarrow P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{n\left( {{A_3}} \right)}}{{n\left( \Omega\right)}} = \frac{1}{{1365}}\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right) = \frac{1}{{65}}\)

Gọi \({B_1}\) là biến cố “Lấy ra 2 bóng xanh, 1 bóng đỏ, 1 bóng vàng”, \({B_2}\) là biến cố “Lấy ra 1 bóng xanh, 2 bóng đỏ, 1 bóng vàng”, \({B_3}\) là biến cố “Lấy ra 1 bóng xanh, 1 bóng đỏ, 2 bóng vàng”.

Vậy \(B = {B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}\) là biến cố “Trong 4 bóng lấy ra có đủ cả 3 màu”.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có \({C}_5^2 = 10\) cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có 6 cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có 4 cách.

\( \Rightarrow n\left( {{B_1}} \right) = 10.6.4 = 240 \Rightarrow P\left( {{B_1}} \right) = \frac{{n\left( {{B_1}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{240}}{{1365}} = \frac{{16}}{{91}}\)

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có 5 cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có \({C}_6^2 = 15\) cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có 4 cách.

\( \Rightarrow n\left( {{B_2}} \right) = 5.15.4 = 300 \Rightarrow P\left( {{B_2}} \right) = \frac{{n\left( {{B_2}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{300}}{{1365}} = \frac{{20}}{{91}}\)

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có 5 cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có 6 cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có \({C}_4^2 = 6\) cách.

\( \Rightarrow n\left( {{B_3}} \right) = 5.6.6 = 180 \Rightarrow P\left( {{B_3}} \right) = \frac{{n\left( {{B_3}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{180}}{{1365}} = \frac{{12}}{{91}}\)

\( \Rightarrow P\left( B \right) = P\left( {{B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right) + P\left( {{B_3}} \right) = \frac{{48}}{{91}}\)