Bài 5 trang 56 Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(A{\rm{D}}\)...

Đề bài :

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(A{\rm{D}}\). Biết \(AB = CD = 2a\) và \(MN = a\sqrt 3 \). Tính góc giữa \(AB\) và \(C{\rm{D}}\).

Hướng dẫn giải :

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):

Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.

Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a’\parallel a\) và đường thẳng \(b’\parallel b\).

Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a’,b’} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Gọi \(P\) là trung điểm của \(AC\).

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(BC\)

\(P\) là trung điểm của \(AC\)

\( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow MP\parallel AB,MP = \frac{1}{2}AB = a\)

\(N\) là trung điểm của \(A{\rm{D}}\)

\(P\) là trung điểm của \(AC\)

\( \Rightarrow NP\) là đường trung bình của tam giác \(AC{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow NP\parallel C{\rm{D}},NP = \frac{1}{2}C{\rm{D}} = a\)

Ta có: \(MP\parallel AB,NP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = \left( {MP,NP} \right)\)

Xét tam giác \(MNP\) có:

\(\cos \widehat {MPN} = \frac{{M{P^2} + N{P^2} - M{N^2}}}{{2.MP.NP}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {MPN} = {120^ \circ }\)

Vậy \(\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {180^ \circ } - \widehat {MPN} = {60^ \circ }\).