Bài 2 trang 85 Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Cho hình chóp tứ giác đều \(S. ABCD\) có \(O\) là tâm của đáy và có tất cả các cạnh...

Đề bài :

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(O\) là tâm của đáy và có tất cả các cạnh bằng nhau.

a) Tìm góc giữa đường thẳng \(SA\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

b) Tim góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SO,B} \right];\left[ {S,AB,O} \right]\).

Hướng dẫn giải :

‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,d,B} \right]\): Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d\), gọi \(a,a’\) lần lượt là giao tuyến của \(\left( P \right)\) với hai nửa mặt phẳng chứa \(A,B\), khi đó \(\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a’} \right)\).

Lời giải chi tiết :

a) \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(O\) là tâm của đáy

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SA,OA} \right) = \widehat {SAO}\)

Giả sử hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng \(a\).

\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\\cos \widehat {SAO} = \frac{{AO}}{{SA}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {SAO} = {45^ \circ }\end{array}\)

Vậy \(\left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^ \circ }\)

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AO,SO \bot BO\)

Vậy \(\widehat {AOB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SO,B} \right]\).

\(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^ \circ }\)

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SI \bot AB\)

\(\Delta OAB\) vuông cân tại \(O \Rightarrow OI \bot AB\)

Vậy \(\widehat {SIO}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,AB,O} \right]\).

Ta có: \(O\) là trung điểm của \(BD\)

\(I\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow OI\) là đường trung bình của \(\Delta AB{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow OI = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}\)

\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\tan \widehat {SIO} = \frac{{SO}}{{OI}} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SIO} \approx 54,{7^ \circ }\)