Giải mục 2 trang 108, 109 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giả sử \(a\) có điểm chung \(M\) với \(\left( P \right)\) thì điểm \(M\) phải nằm trên đường thẳng...

Câu hỏi:

Cho đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(a\) song song với một đường thẳng \(b\) nằm trong \(\left( P \right)\). Đặt \(\left( Q \right) = mp\left( {a,b} \right)\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

b) Giả sử \(a\) có điểm chung \(M\) với \(\left( P \right)\) thì điểm \(M\) phải nằm trên đường thẳng nào? Điều này có trái với giả thiết \(a\parallel b\) hay không?

Hướng dẫn giải :

‒ Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung phân biệt hoặc một đường thẳng chung của hai mặt phẳng.

‒ Để tìm vị trí của điểm \(M\), ta sử dụng tính chất về giao tuyến của hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}b \subset \left( P \right)\\b \subset \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow b = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)

Vậy \(b\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}M \in a\\a \subset \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( Q \right)\)

Lại có: \(M \in \left( P \right)\)

Do đó điểm \(M\) nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Vậy \(M \in b\).

Vậy \(M\) là một điểm chung của hai đường thẳng \(a\) và \(b\), trái với giả thiết \(a\parallel b\).

Câu hỏi:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(A’,B’,C’\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SB,SC\). Tìm các đường thẳng lần lượt nằm trong, cắt, song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Hướng dẫn giải :

‒ Để xác định vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, ta dựa vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng đó.

‒ Để xác định đường thẳng song song với mặt phẳng, ta sử dụng định lí 1: Nếu đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng \(b\) nào đó nằm trong \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}A \in \left( {ABC} \right)\\B \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \subset \left( {ABC} \right)\\\left. \begin{array}{l}B \in \left( {ABC} \right)\\C \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \subset \left( {ABC} \right)\\\left. \begin{array}{l}A \in \left( {ABC} \right)\\C \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AC \subset \left( {ABC} \right)\end{array}\)

\(SA \cap \left( {ABC} \right) = \left\{ A \right\} \Rightarrow SA\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

\(SB \cap \left( {ABC} \right) = \left\{ B \right\} \Rightarrow SB\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

\(SC \cap \left( {ABC} \right) = \left\{ C \right\} \Rightarrow SC\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

\(A’B \cap \left( {ABC} \right) = \left\{ B \right\} \Rightarrow A’B\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

\(A’C \cap \left( {ABC} \right) = \left\{ C \right\} \Rightarrow A’C\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

\(B’A \cap \left( {ABC} \right) = \left\{ A \right\} \Rightarrow B’A\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

\(B’C \cap \left( {ABC} \right) = \left\{ C \right\} \Rightarrow B’C\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

\(C’A \cap \left( {ABC} \right) = \left\{ A \right\} \Rightarrow C’A\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

\(C’B \cap \left( {ABC} \right) = \left\{ B \right\} \Rightarrow C’B\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

\(A’\) là trung điểm của \(SA\)

\(B’\) là trung điểm của \(SB\)

\( \Rightarrow A’B’\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow A’B’\parallel AB\\AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A’B’\parallel \left( {ABC} \right)\)

\(A’\) là trung điểm của \(SA\)

\(C’\) là trung điểm của \(SC\)

\( \Rightarrow A’C’\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow A’C’\parallel AC\\AC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A’C’\parallel \left( {ABC} \right)\)

\(B’\) là trung điểm của \(SB\)

\(C’\) là trung điểm của \(SC\)

\( \Rightarrow B’C’\) là đường trung bình của tam giác \(SBC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow B’C’\parallel BC\\BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow B’C’\parallel \left( {ABC} \right)\)

Câu hỏi:

Hãy chỉ ra trong Hình 9 các đường thẳng lần lượt nằm trong, song song, cắt mặt phẳng sàn nhà.

Hướng dẫn giải :

Để xác định vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, ta dựa vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Các đường thẳng nằm trong mặt phẳng sàn nhà là: mép chân giường, chân tường, mép chân bàn, viền thảm trải sàn,…

Các đường thẳng song song với mặt phẳng sàn nhà là: mép cạnh bàn, mép kệ, mép trần nhà, mép cửa sổ,…

Các đường thẳng cắt mặt phẳng sàn nhà là: cạnh tường, cạnh thẳng đứng của kệ, tủ,…