Bài 3 trang 61 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\). Phát biểu nào sau đây đúng?...

Đề bài :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\). Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn.

B. Dãy số giảm và bị chặn.

C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.

D. Dãy số giảm và bị chặn trên.

Hướng dẫn giải :

• Xét tính tăng giảm của dãy số:

Bước 1: Tìm \({u_{n + 1}}\).

Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

Bước 3: Kết luận:

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\) thì \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) thì \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

• Xét tính bị chặn của dãy số ta sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) - \left( {{n^2} + n + 3n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 4n + 4 - {n^2} - n - 3n - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

• Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{\left( {n + 2} \right) - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1 \Leftrightarrow {u_n} < 1\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} \ge 1 - \frac{1}{3} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{2}{3}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Chọn A.