Bài 5 trang 100 SBT toán 10 Chân trời sáng tạo: Trên tường có 1 đĩa hình tròn có cấu tạo đồng chất và cân đối. Mặt đĩa được chia thà...

Đề bài :

Trên tường có 1 đĩa hình tròn có cấu tạo đồng chất và cân đối. Mặt đĩa được chia thành 12 hình quạt bằng nhau và được đánh số từ 1 đến 12. Trọng quay đĩa dừng trục gắn ở tâm 3 lần và quan sát xem mỗi khi dừng lại mũi tên chỉ vào ô ghi só mấy. Tính xác suất của các biến cố:

A: “Cả 3 lần mũi tên đều chỉ vào ô ghi số lẻ”

B: “Có đúng 2 lần mũi tên chỉ vào ô ghi số lẻ”

C: “Tích 3 số mũi tên chỉ vào là số nguyên tố”

Phương pháp giải :

Phép thử có không gian mẫu gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và A là 1 biến cố

Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu \(P\left( A \right)\) được xác định bởi công thức: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\), trong đó \(n\left( A \right)\) và \(n\left( \Omega  \right)\) lần lượt là kí hiệu số phần tử của tập A và \(\Omega \)

Lời giải chi tiết :

Mỗi lần quay, có 12 kết quả có thể xảy ra.

Vậy 3 lần quay, số kết quả có thể xảy ra là: \(n\left( \Omega  \right) = 12.12.12 = {12^3}\)

a) Trong 12 số, có 6 số lẻ là: 1; 3; 5; 7; 9; 11

Do đó mỗi lần quay, có 6 trường hợp mũi tên chỉ vào số lẻ.

Số trường hợp để 3 lần quay mũi tên đều chỉ vào số lẻ là: 6.6.6 hay \(n\left( A \right) = {6^3}\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{{6^3}}}{{{{12}^3}}} = \frac{1}{8}\)

b) Để biến cố B xảy ra cần thực hiện 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 2 trong 3 lần (mũi tên chỉ vào số lẻ) => có \(C_3^2\) cách

Công đoạn 2: Hai lần mũi tên chỉ vào số lẻ

Có 6 cách để chỉ vào 1 trong 6 số lẻ, do đó hai lần có: 6.6 =36 cách

Công đoạn 3: Một lần mũi tên chỉ vào số chẵn

Có 6 số chẵn trên bảng, do đó có 6 cách để chỉ vào số chẵn

Theo quy tắc nhân ta có: \(n\left( B \right) = C_3^2.36.6 = 648\)

\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{648}}{{{{12}^3}}} = \frac{3}{8}\)

c) Có 5 số nguyên số trong 12 số đã cho là: 2, 3, 5, 7, 11

Để tích 3 số mũi tên chỉ vào là số nguyên tố thì 2 lần quay vào số 1 và 1 lần quay vào 1 trong 5 số nguyên tố đó.

+ Chọn 1 trong 3 lần để quay vào số nguyên tố: có 3 cách

+ Mũi tên quay vào 1 số nguyên tố: Có 5 cách

Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố C là: \(n\left( C \right) = 5.3\)

\( \Rightarrow P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{5.3}}{{{{12}^3}}} = \frac{5}{{576}}\)