Bài 4 trang 55 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo: Tìm công thức hàm số bậc hai biết:...

Đề bài :

Tìm công thức hàm số bậc hai biết:

a) Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm \(A\left( {1; - 3} \right),B\left( {0; - 2} \right),C\left( {2; - 10} \right)\)

b) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 3\), cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 16\) và một trong hai giao điểm với trục hoành có hoành độ là \( - 2\)

Phương pháp giải :

a) Bước 1: Đặt phương trình dạng tổng quát \(y = a{x^2} + bx + c\)

Bước 2: Thay tọa độ các điểm mà đồ thị hàm số đi qua, lập hệ phương trình và xác định a, b, c

b) Sử dụng các tính chất của đồ thị hàm số bậc 2 và xác định các hệ số a, b, c

Lời giải chi tiết :

a) Giả sử phương trình bậc 2 cần tìm có dạng tổng quát \(y = a{x^2} + bx + c\)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(B\left( {0; - 2} \right)\) nên \(c =  - 2\). Vậy phương trình có dạng \(y = a{x^2} + bx - 2\)

Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {1; - 3} \right),C\left( {2; - 10} \right)\) thay tọa độ hai điểm vào phương trình \(y = a{x^2} + bx - 2\)ta có hệ sau:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 3 = a{.1^2} + b - 2\\ - 10 = a{.2^2} + b.2 - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b =  - 1\\4{\rm{a}} + 2b =  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 2\end{array} \right.\\\end{array}\)

Vậy hàm số cần tìm có công thức là \(y =  - 3{x^2} + 2x - 2\)

b) Giả sử phương trình bậc 2 cần tìm có dạng tổng quát \(y = a{x^2} + bx + c\)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 16\) suy ra \(c =  - 16\)

Suy ra hàm số có công thức dạng \(y = a{x^2} + bx - 16\)

Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 3 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 3 \Rightarrow b =  - 6{\rm{a}}\) (1)

Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \( - 2\)nên \(0 = a{\left( { - 2} \right)^2} + b\left( { - 2} \right) - 16 \Leftrightarrow 4a - 2b = 16\) (2)

Từ (1) và (2) ta tìm được \(a = 1,b =  - 6\)

Vậy hàm số cần tìm có dạng \(y = {x^2} - 6x - 16\)