Bài 3 trang 102 Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Cho hình thoi ABCD đi có cạnh bằng a và có góc A bằng (6...

Đề bài :

Cho hình thoi ABCD đi có cạnh bằng a và có góc A bằng \(60^\circ \). Tìm độ dài của các vectơ sau: \(\overrightarrow p  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ;\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} ;\overrightarrow v  = 2\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} \).

Phương pháp giải :

Quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OB} \)

Quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \) (với ABCD là hình bình hành);

Quy tắc hiệu: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \)

Áp dụng các quy tắc trên để xác định vecto \(\overrightarrow p ,\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) rồi tính độ dài.

Lời giải chi tiết :

+) ABCD là hình thoi nên cũng là hình bình hành

 Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

 \(\overrightarrow p  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

 \(\Rightarrow  |\overrightarrow p|  = | \overrightarrow {AC}| =AC \)

+) \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} \)

 \(\Rightarrow  |\overrightarrow u|  = | \overrightarrow {DB}| =DB\)

+) \(\overrightarrow v  = 2\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DB} \)

 \(\Rightarrow  |\overrightarrow v|  = | \overrightarrow {DB}| =DB\)

+ Tính \(AC, DB\)

Tam giác ABD có \(AB=AD=a, \widehat A = 60^o\) nên nó là tam giác đều. Do đó DB = a.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo.

Ta có: \(AO = AB. \sin B = a. \sin 60^o = \frac {a \sqrt 3}{2} \Rightarrow  AC = a \sqrt 3\)

Vậy \(|\overrightarrow p|  =  a \sqrt 3 ,|\overrightarrow u|  =  a, |\overrightarrow v|  =  a.\)