Bài 2 trang 70 Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo: a) (({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1)...

Đề bài :

Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ của các tiêu điểm của chúng

a) \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\)

b) \(({C_2}):16{x^2} - 4{y^2} = 144\)

c) \(({C_3}):x = \frac{1}{8}{y^2}\)

Phương pháp giải :

Bước 1: Xác định dạng phương trình của đường conic nào

          +) Có dạng \(a{x^2} + b{y^2} = 1\) là dạng đường elip

          +) Có dạng \(a{x^2} - b{y^2} = 1\) là dạng đường hypebol

          +) Có dạng \({y^2} = ax\) là dạng đường parabol

Bước 2: Đưa về phương trình chính tắc và tìm tọa độ biết phương trình chính tắc có dạng

          +) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là đường elip

          +) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là đường hypebol

          +) \({y^2} = 2px\) là đường parabol

Bước 3: Xác định tiêu điểm của các đường conic

          +) Elip: \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\)

          +) Hypebol: \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\)

          +) Parabol: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

Lời giải chi tiết :

a) Ta thấy phương trình có dạng \(a{x^2} + b{y^2} = 1\) nên phương trình \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\) là phương trình của đường elip

Từ phương trình \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\) ta có phương trình chính tắc là \(({C_1}):\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{{16}}}} = 1\)

Từ phương trình chính tắc ta có: \(a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{4} \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

Suy ra tiêu điểm của elip này là \({F_1}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)\) và \({F_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)\)

b) Ta thấy phương trình có dạng \(a{x^2} - b{y^2} = 1\) nên phương trình \(({C_2}):16{x^2} - 4{y^2} = 144\) là phương trình của đường hypebol

Từ phương trình \(({C_2}):16{x^2} - 4{y^2} = 144\) ta có phương trình chính tắc là \(({C_1}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Từ phương trình chính tắc ta có: \(a = 3,b = 4 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\)

Suy ra tiêu điểm của hypebol này là \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\) và \({F_2}\left( {5;0} \right)\)

c) Phương trình \(({C_3}):x = \frac{1}{8}{y^2}\) có dạng \({y^2} = ax\) nên phương trình này là phương trình của parabol

Ta có phương trình chính tắc là \({y^2} = 8x\)

Từ phương trình chính tắc ta có: \(2p = 8 \Rightarrow p = 4\)

Suy ra tiêu điểm là \(F(2;0)\)