Bài 15 trang 105 Toán 9 Chân trời sáng tạo tập 1: Hải đăng Kê Gà tọa lạc tại xã Tân Thành, huyên Hàm Thuận Nam, tỉnh Bình Thuận...

Đề bài :

Hải đăng Kê Gà tọa lạc tại xã Tân Thành, huyên Hàm Thuận Nam, tỉnh Bình Thuận. Biết ngọn hải đăng cao 65 m so với mặt nước biển. Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn của hải đăng này?

Cho biết mắt người quan sát ở độ cao 5 m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400 km.

Hướng dẫn giải :

Chứng minh \(\Delta \)CHB \(\backsim \) \(\Delta \)HDB (g.g) và \(\Delta \)FHA \(\backsim \) \(\Delta \)HEA (g.g) rồi suy ra tỉ số đồng dạng để tính.

Lời giải chi tiết :

BO cắt đường tròn (O) tại 2 điểm C và D. Điểm C nằm giữa B và O.

Người quan sát đứng tại vị trí tàu nhìn xa tối đa trên mặt biển một đoạn tương ứng HB.

Xét tam giác BHC và tam giác BHD có:

\(\widehat B\) chung

\(\widehat {CBH} = \widehat {HDB}\) (cùng chắn cung HC)

Vậy \(\Delta \)CHB \(\backsim \) \(\Delta \)HDB (g.g)

Suy ra \(\frac{{BH}}{{BD}} = \frac{{CB}}{{HB}}\)

HB² = CB.BD

HB² = CB.(BC + CD)

HB² = CB.(BC + 2R)

Thay số, ta có:

HB² = 0,005.(0,005 + 2.6400) (CB = 5 m = 0,005 km)

Suy ra HB \( \approx \) 8 km

Ta có OA cắt đường tròn (O) tại E và F. Điểm F nằm giữa O và A.

Chứng minh tương tự trên, ta có:

Vậy \(\Delta \)FHA \(\backsim \) \(\Delta \)HEA (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AE}} = \frac{{FA}}{{HA}}\)

AH² = FA.AE

AH² = FA.(FA+EF)

AH² = FA.(FA + 2R)

Thay số, ta có:

AH² = 0,0065.(0,0065 + 2.6400) (FA = 65 m = 0,0065 km)

Suy ra AH \( \approx \) 29 km

Vậy AB = HA + HB = 29 + 8 \( \approx \) 37 km.