Bài 1 trang 45 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC...

Đề bài :

Cho tam giác nhọn ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.

b) Gọi E là trung điểm của BC và I là giao điểm của AE với MN. Chứng minh I là trung điểm của MN.

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức về tính chất của đường trung bình của tam giác để chứng minh: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+ Sử dụng kiến thức về đường trung bình của tam giác để chứng minh: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Lời giải chi tiết :

a) Tam giác ABC có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó, MN//BC nên tứ giác BMNC là hình thang.

b) Tam giác ABE có: M là trung điểm của AB và MI//BE nên \(IA = IE\). Suy ra, MI là đường trung bình của tam giác ABE. Do đó, \(MI = \frac{{BE}}{2}\).

Tam giác ACE có: N là trung điểm của AC và \(IA = IE\). Suy ra, NI là đường trung bình của tam giác ACE.

Do đó, \(NI = \frac{{CE}}{2}\)

Mà \(BE = EC\) (E là trung điểm của BC)

Do đó, \(MI = NI\). Vậy I là trung điểm của MN.