Bài 6 trang 45 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM//QO\(\left( {M \in OP} \right)\)...

Đề bài :

Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM//QO\(\left( {M \in OP} \right)\), IN//PO \(\left( {N \in QO} \right)\). Chứng minh:

a) Tam giác IMN cân tại I.

b) OI là đường trung trực của MN.

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức về đường trung bình của tam giác để chứng minh: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+ Sử dụng kiến thức về tính chất của đường trung bình của tam giác để chứng minh: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết :

a) Tam giác OPQ có: \(IP = IQ\), IM//QO nên \(MO = MP\)

Tam giác OPQ có: \(IP = IQ\), \(MO = MP\) nên IM là đường trung bình của tam giác OPQ, suy ra \(IM = \frac{1}{2}QO\)

Tương tự ta có: \(IN = \frac{1}{2}PO\).

Mà \(PO = QO\) (do tam giác POQ cân tại O) nên \(IM = IN\), suy ra tam giác IMN cân tại I.

b) Gọi K là giao điểm của IO và MN.

Tam giác OPQ có: \(MO = MP\), \(NO = NQ\) nên MN là đường trung bình của tam giác OPQ, suy ra MN//PQ (1).

Tam giác OPQ cân tại O có OI là đường trung tuyến nên OI cũng là đường cao của tam giác OPQ.

Suy ra: \(OI \bot PQ\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(MN \bot OI\) tại K hay \(MN \bot IK\)

Mà tam giác IMN cân tại I nên IK là đường trung trực của MN hay OI là đường trung trực của MN.