Bài 11 trang 89 Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo: Tứ giác \(AEFD\) là hình gì? Vì sao?...

Đề bài :

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 2AD\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(DF\) và \(CD\), \(I\) là giao điểm của \(AF\) và \(DE\), \(K\) là giao điểm của \(BF\) và \(CE\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(AECF\) là hình bình hành

b) Tứ giác \(AEFD\) là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh tứ giác \(EIFK\) là hình chữ nhật

d) Tìm điều kiện của hình bình hành \(ABCD\) để tứ giác \(EIFK\) là hình vuông

Hướng dẫn giải :

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

b) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi

c) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật

d) Áp dụng tính chất của hình vuông

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\(AE = EB = \frac{1}{2}AB\) (do \(E\) là trung điểm của \(AB\))

\(DF = FC = \frac{1}{2}CD\) (\(F\) là trung điểm của \(CD\))

\(AB = CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành)

Suy ra \(AE = CF = EB = DF\)

Xét tứ giác \(AECF\) ta có:

\(AE\) // \(CF\) (do \(AB\) // \(CD\))

\(AE = CF\)

Suy ra \(AECF\) là hình bình hành

b) Vì \(AB = 2AD\) (gt) và \(AB = 2AE\) (do \(E\) là trung điểm của \(AB\))

Suy ra \(AD = AE\)

Xét tứ giác \(AEFD\) có \(AE\) // \(DF\) và \(AE = DF\) (cmt)

Suy ra \(AEFD\) là hình bình hành

Mà \(AE = AD\) (cmt)

Suy ra \(AEFD\) là hình thoi

c) Ta có \(AF \bot DE\) (do \(AEFD\) là hình thoi)

và \(AF\) // \(EC\) (\(AECF\) là hình bình hành)

Suy ra \(EC \bot DE\)

Suy ra \(\widehat {IEK} = 90^\circ \)

Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(EF = AE\)

Và \(AE = \frac{1}{2}AB\) (gt)

Suy ra \(EF = \frac{1}{2}AB\)

Xét \(\Delta AFB\) có \(FE\) là đường trung tuyến và \(EF = \frac{1}{2}AB\)

Suy ra \(\Delta AFB\) vuông tại \(F\)

Suy ra \(\widehat {{\rm{IFK}}} = 90\)

Xét tứ giác \(EIFK\) ta có:

\(\widehat {{\rm{EIF}}} = 90\) (do \(AF \bot DE\))

\(\widehat {{\rm{IEK}}} = 90^\circ \) (cmt)

\(\widehat {{\rm{IFK}}} = 90^\circ \) (cmt)

Suy ra \(EIFK\) là hình chữ nhật

d) \(EIFK\) là hình vuông

Suy ra \(FI = EI\)

Mà \(EI = ID = \frac{1}{2}DE\) ( do \(AEFD\) là hình thoi)

\(FI = IA = \frac{1}{2}AF\) (do \(AEFD\) là hình thoi)

Suy ra \(AF = DE\)

Mà \(AEFD\) là hình thoi

Suy ra \(AEFD\) là hình chữ nhật

Suy ra \(\widehat {{\rm{ADC}}} = 90^\circ \)

Mà \(ABCD\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(ABCD\) là hình chữ nhật

Vậy nếu hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật thì \(EIFK\) là hình vuông