Bài 1 trang 84 Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A ((widehat A < {90^o})). Hai đường cao BE và CF cắt...

Đề bài :

Cho tam giác ABC cân tại A (\(\widehat A < {90^o}\)). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rẳng \(\Delta BFC = \Delta CEB\)

b) Chứng minh rằng \(\Delta AEH = \Delta AFH\)

c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng ba điểm A,H,I thẳng hàng.

Phương pháp giải :

a) Ta sử dụng định lí cạnh huyền – góc nhọn trong tam giác vuông

b) Từ câu a ta chứng minh 2 tam giác AHF = tam giác AHE nhờ những cạnh của 2 tam giác chứng minh được bằng nhau từ câu trên

c) Ta chứng minh AI và AH cùng là phân giác của góc A

Lời giải chi tiết :

a) Xét \(\Delta BFC\) và \(\Delta CEB\) có:

BC là cạnh chung

\(\widehat B = \widehat C\)(\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat {BEC} = \widehat {CFB} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta BFC = \Delta CEB\)(cạnh huyền – góc nhọn )

b) Vì \(\Delta BFC = \Delta CEB \Rightarrow \) BF = EC (2 cạnh tương ứng)

Mà AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\( \Rightarrow \) AF = AE (AB – BF = AC – EC )

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta AFH\)ta có :

AF = AE (chứng minh trên)

AH cạnh chung

\(\widehat {HFA} = \widehat {HEA} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta AEH = \Delta AFH\)(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

c) Vì CF, BE là những đường cao của tam giác ABC và H là giao điểm của chúng

\( \Rightarrow \) H là trực tâm của tam giác ABC

\( \Rightarrow \) AH vuông góc với BC (1)

Xét \(\Delta AIC\) và \(\Delta AIB\) có :

IB = IC (I là trung điểm BC)

AI là cạnh chung

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A)

\( \Rightarrow \Delta AIC = \Delta AIB(c - c - c)\)

\( \Rightarrow \widehat {AIC} = \widehat {AIB}\) (2 góc tương ứng) Mà chúng ở vị trí kề bù \( \Rightarrow \widehat {AIC} = \widehat {AIB} = {90^o}\)\( \Rightarrow AI \bot BC\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) A, H, I thẳng hàng.