Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3t\\z = 1 + t\end{array} \right. \)...

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).

a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc \(\Delta \) và một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {1;3;1} \right)\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về là vectơ chỉ phương của đường thẳng để xác định: Vectơ \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu giá của vectơ \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với \(\Delta \).

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in \mathbb{R}\))

Lời giải chi tiết :

a) Vì \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) nên điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) và điểm \(N\left( {3;3;2} \right)\) thuộc \(\Delta \) và \(\overrightarrow u \left( {1;3;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

b) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {1;3;1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t\\z = t\end{array} \right.\)