Bài tập 5.15 trang 48 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}...

Đề bài :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\).

a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:

\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\).

Lời giải chi tiết :

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {3;1;2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1;3;2} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {3;1;2} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

Lại có: \(\frac{{1 - 1}}{3} \ne \frac{{3 + 1}}{1}\) nên điểm A không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).

Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song nhau.

b) Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \(B\left( {1; - 1;0} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {0; - 4; - 2} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {3;1;2} \right)\).

Lại có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 4}&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\0&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;6; - 12} \right)\)

Do đó, mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) nhận \(\frac{1}{6}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {1;1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến. Lại có, điểm \(A\left( {1;3;2} \right)\) thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là: \(x - 1 + y - 3 - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z = 0\).