Bài tập 4.35 trang 28 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay...

Đề bài :

Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5\left( {0 \le x \le 30} \right)\) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gồm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu \(c{m^3}\) đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1cm.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết :

\(\pi \int\limits_0^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_{30}^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} \)

\( = \pi \int\limits_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{9}{{1225}}{x^2} + 25 + \frac{{6{x^3}}}{{6125}} + \frac{{6x}}{7} + \frac{2}{{35}}{x^2}} \right)dx} \)

\( = \pi \int\limits_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{{79}}{{1225}}{x^2} + 25 + \frac{{6{x^3}}}{{6125}} + \frac{{6x}}{7}} \right)dx} \)

\( = \pi \left( {\frac{{{x^5}}}{{153125}} + \frac{{79{x^3}}}{{3675}} + 25x + \frac{{3{x^4}}}{{12250}} + \frac{{3{x^2}}}{7}} \right)\left| \begin{array}{l}31\\30\end{array} \right.\)

\( = \pi \left( {\frac{{2058364381}}{{918750}} - \frac{{101586}}{{49}}} \right) \approx 167,21\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng khoảng \(167,21\pi \;c{m^3}\)