Giải mục 1 trang 80, 81, 82 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Có thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc hay không?...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trở lại bài toán trong tình huống mở đầu, gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{20}}\) là các kết quả đo (mẫu số liệu gốc).

a) Có thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc hay không?

b) Thảo luận và đề xuất ước lượng cho phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc để ước lượng: Với mẫu số liệu cho dạng bảng tần số với \({m_i}\) là tần số của giá trị \({x_i}\) và \(n = {m_1} + ... + {m_k}\)

+ Phương sai là giá trị: \({s^2} = \frac{{{m_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {m_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {m_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}}}{n}\).

+ Căn bậc hai của phương sai \(s = \sqrt {{s^2}} \) được gọi là độ lệch chuẩn.

Lời giải chi tiết :

a) Không thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn thông qua số liệu của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

+ Tìm \({y_1},{y_2},{y_3},{y_4},{y_5}\) lần lượt là giá trị đại diện của các nhóm \(\left[ {52;52,1} \right)\), \(\left[ {52,1;52,2} \right)\), \(\left[ {52,2;52,3} \right)\), \(\left[ {52,3;52,4} \right)\), \(\left[ {52,4;52,5} \right)\).

+ Tính số trung bình cộng \(\overline y \) của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

+ Tính phương sai: \({s^2} = \frac{{1.{{\left( {{y_1} - \overline y } \right)}^2} + 5{{\left( {{y_2} - \overline y } \right)}^2} + 8{{\left( {{y_3} - \overline y } \right)}^2} + 4{{\left( {{y_4} - \overline y } \right)}^2} + 2{{\left( {{y_5} - \overline y } \right)}^2}}}{{20}}\)

+ Tính độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {{s^2}} \).

Khi đó, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc lần lượt xấp xỉ với các giá trị \({s^2}\) và s.

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 82 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Một vận động viên luyện tập chạy cự li 100m đã ghi lại kết quả luyện tập như sau:

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này. Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết điều gì?

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({s^2}\), là một số được tính theo công thức sau: \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}\), trong đó \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) với \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \).

Sử dụng kiến thức về ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn để giải thích: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

Lời giải chi tiết :

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có:

Tổng số vận động viên là: \(3 + 7 + 8 + 2 = 20\)

Thời gian chạy trung bình của các vận động viên là: \(\overline x = \frac{1}{{20}}\left( {10,3.3 + 10,5.7 + 10,7.8 + 10,9.2} \right) = 10,59\) (giây)

Phương sai của mẫu số liệu là:

\({s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {10,{3^2}.3 + 10,{5^2}.7 + 10,{7^2}.8 + 10,{9^2}.2} \right) - 10,{59^2} = 0,0299\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: \(\sqrt {0,0299} \approx 0,17\)

Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Do đó, với mẫu số liệu gốc, phương sai xấp xỉ 0,0299 và độ lệch chuẩn xấp xỉ 0,17 giây.

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 82 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho bài toán trong tình huống mở đầu và cho biết có cần đưa máy đi sửa chữa hay không.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({s^2}\), là một số được tính theo công thức sau: \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}\), trong đó \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) với \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \).

Lời giải chi tiết :

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có:

Độ ẩm trung bình trong 20 lần đo là: \(\overline x = \frac{1}{{20}}\left( {52,05.1 + 52,15.5 + 52,25.8 + 52,35.4 + 52,45.2} \right) = 52,255\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {52,{{05}^2}.1 + 52,{{15}^2}.5 + 52,{{25}^2}.8 + 52,{{35}^2}.4 + 52,{{45}^2}.2} \right) - 52,{255^2} = 0,010475\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: \(s = \sqrt {0,010475} \approx 0,102\)

Vì \(0,102 < 0,15\) nên không cần đưa máy đo này đi sửa chữa.