Bài 2.21 trang 39 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Chứng minh rằng mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau là một cấp số nhân...

Đề bài :

Chứng minh rằng mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó:

a) \({u_n} = - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\);

b) \({u_n} = \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}\);

Hướng dẫn giải :

Xét thương: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\), tìm được thương là một hằng số (q) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với \({u_1}\) ứng với \(n = 1\) và công bội bằng q.

Lời giải chi tiết :

a) Từ \({u_n} = - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\) suy ra \({u_{n + 1}} = - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}}\)

Do đó, \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{ - 3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{ - 3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = \frac{1}{2}\forall n\)

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với \({u_1} = \frac{{ - 3}}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\)

b) Từ \({u_n} = \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}\) suy ra \({u_{n + 1}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}\)

Do đó, \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}}}{{\frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}}} = \frac{2}{3}\forall n\)

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với \({u_1} = 2\) và công bội \(q = \frac{2}{3}\)