Bài 1.62 trang 29 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Giải các phương trình sau: \(\sin 3x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\tan \left( {\frac{x}{3} + {{10}^0}} \right) =...

Đề bài :

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin 3x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);

b) \(\tan \left( {\frac{x}{3} + {{10}^0}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\);

c) \(\sin 3x - \cos 5x = 0\);

d) \(\tan 3x\tan x = 1\).

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng cách giải phương tình \(\sin x = m\) (1)

+ Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì tồn tại duy nhất số \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn \(\sin \alpha = m\).

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

\(\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu góc \(\alpha \) được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

\(\sin x = \sin {\alpha ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^0} + k{360^0}\\x = {180^0} - \alpha + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: \(\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\x = \pi - v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) Sử dụng cách giải phương tình \(\cos \,x = m\) (2)

+ Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì tồn tại duy nhất số \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn \(\cos \,\alpha = m\).

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

\(\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu góc \(\alpha \) được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

\(\cos x = \cos {\alpha ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos = {\alpha ^0} + k{360^0}\\\cos = - \alpha + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: \(\cos u = \cos v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\x = - v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) Sử dụng cách giải phương trình \(\tan \,x = m\left( 3 \right)\)

Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Luôn tồn tại duy nhất số \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\)

Khi đó, phương trình (3) tương đương với:

\(\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu góc \(\alpha \) được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

\(\tan x = \tan {\alpha ^0} \Leftrightarrow x = {\alpha ^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: \(\tan u = \tan v \Leftrightarrow u = v + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

a) \(\sin 3x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \pi + \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{4\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\tan \left( {\frac{x}{3} + {{10}^0}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{x}{3} + {{10}^0}} \right) = \tan \left( { - {{30}^0}} \right) \Leftrightarrow \frac{x}{3} + {10^0} = - {30^0} + k{180^0}\)

\(x = - {120^0} + k{540^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c)\(\sin 3x - \cos 5x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 5x + k2\pi \\3x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\x = \frac{{ - \pi }}{4} - k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

d) Điều kiện: \(\cos 3x \ne 0,\cos x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne 0\)

\(\tan 3x\tan x = 1 \Leftrightarrow \tan 3x = \cot x \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi \)

\(x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)(thỏa mãn)