Trang chủ Lớp 11 SGK Toán 11 - Kết nối tri thức Chương IX. Đạo hàm Giải mục 4 trang 91, 92 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Với \(h \ne 0, \) biến đổi hiệu \(\sin \left( {x + h} \right) - \sin x\) thành tích...

Giải mục 4 trang 91, 92 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Với \(h \ne 0, \) biến đổi hiệu \(\sin \left( {x + h} \right) - \sin x\) thành tích...

HĐ 5, LT 3 , HĐ 6 , LT 4 , HĐ 7 , LT 5 , VD 1 Lời giải bài tập, câu hỏi mục 4 trang 91, 92 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm. Với \(h \ne 0, \) biến đổi hiệu \(\sin \left( {x + h} \right) - \sin x\) thành tích.

Câu hỏi:

Hoạt động 5

a) Với \(h \ne 0,\) biến đổi hiệu \(\sin \left( {x + h} \right) - \sin x\) thành tích.

b) Sử dụng công thức giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin h}}{h} = 1\) và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Hướng dẫn giải :

- Công thức lượng giác \(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\)

- \(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

Lời giải chi tiết :

a) \(\sin \left( {x + h} \right) - \sin x = 2\cos \frac{{2x + h}}{2}.\sin \frac{h}{2}\)

b) Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(\begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin x - \sin {x_0}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\cos \frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{\frac{{x - {x_0}}}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos \frac{{x + {x_0}}}{2} = \cos {x_0}\end{array}\)

Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số \(y’ = \cos x\)


Câu hỏi:

Luyện tập 3

Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right).\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức \(\left( {\sin u} \right)’ = u’.\cos u\)

Lời giải chi tiết :

\(y’ = {\left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)^,}\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right) = - 3\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)\)


Câu hỏi:

Hoạt động 6

Bằng cách viết \(y = \cos x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \cos x.\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức \(\left( {\sin u} \right)’ = u’.\cos u\)

Lời giải chi tiết :

\(y’ = \left( {\cos x} \right)’ = {\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)^,}\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \sin x\)


Câu hỏi:

Luyện tập 4

Tính đạo hàm của hàm số \(y = 2\cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right).\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức \(\left( {\cos u} \right)’ = - u’.\sin u\)

Lời giải chi tiết :

\(y’ = - 2{\left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)^,}\sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)\)


Câu hỏi:

Hoạt động 7

a) Bằng cách viết \(y = \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\,\,\,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \tan x.\)

b) Sử dụng đẳng thức \(\cot x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) với \(x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \cot x.\)

Hướng dẫn giải :

- Sử dụng công thức \(\left( {\sin x} \right)’ = \cos x,\left( {\cos x} \right)’ = - \sin x\)

- Sử dụng quy tắc \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^,} = \frac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết :

a) \(y’ = \left( {\tan x} \right)’ = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^,} = \frac{{\left( {\sin x} \right)’.\cos x - \sin x.\left( {\cos x} \right)’}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

b) \(\left( {\cot x} \right)’ = {\left[ {\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right]^,} = \frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}} = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) (dựa vào ý a)


Câu hỏi:

Luyện tập 5

Tính đạo hàm của hàm số \(y = 2{\tan ^2}x + 3\cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right).\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức \(\begin{array}{l}\left( {\tan x} \right)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}};\\\left( {\cot u} \right)’ = - \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}y’ = 2\left( {{{\tan }^2}x} \right)’ + 3\left[ {\cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)} \right]’ = 2.2\tan x.\left( {\tan x} \right)’ + 3.\frac{{ - \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)’}}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)}}\\ = 4\tan x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{6}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)}}\end{array}\)


Câu hỏi:

Vận dụng 1

Một vật chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = 4\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)\left( m \right),\) với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải :

- Ý nghĩa vật lí: \(v = s’\)

- Công thức \(\left( {\cos u} \right)’ = - u’.\sin u\)

Lời giải chi tiết :

Ta có

\(v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 4\left[ {\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)} \right]’ = - 4\left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)’.\sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right) = - 8\pi \sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)\)

Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là

\(v\left( 5 \right) = - 8\pi \sin \left( {10\pi - \frac{\pi }{8}} \right) \approx 9,6\)(m/s)

Dụng cụ học tập

Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Sách Giáo Khoa: Kết nối tri thức với cuộc sống

- Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống được biên soạn cho tất cả học sinh phổ thông trên mọi miền của đất nước, giúp các em hình thành và phát triển những phẩm chất và năng lực cần có đối với người công dân Việt Nam trong thế kỉ XXI. Với thông điệp “Kết nối tri thức với cuộc sống”, bộ SGK này được biên soạn theo mô hình hiện đại, chú trọng vai trò của kiến thức, nhưng kiến thức cần được “kết nối với cuộc sống”, bảo đảm: 1) phù hợp với người học; 2) cập nhật những thành tựu khoa học hiện đại, phù hợp nền tảng văn hóa và thực tiễn Việt Nam; 3) giúp người học vận dụng để giải quyết những vấn đề của đời sống: đời sống cá nhân và xã hội, đời sống tinh thần (đạo đức, giá trị nhân văn) và vật chất (kĩ năng, nghề nghiệp).

Đọc sách

Bạn có biết?

Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 11

Lớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'

- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.

Nguồn : Sưu tập

Copyright © 2024 Giai BT SGK