Bài 7.24 trang 59 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằngGọi M...

Đề bài :

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải :

Hai đường thẳng vuông góc nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có \(BN \bot CD,AG \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {ABN} \right),MN \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow CD \bot MN\)

Vì BN, AN lần lượt là 2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều cạnh a nên BN = AN

Do đó tam giác ABN cân tại N mà M là trung điểm AB

\( \Rightarrow \) \(AB \bot MN\)

Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Ta có \(CD \bot \left( {ABN} \right);AB \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow CD \bot AB\)

Chứng minh tương tự ta được \(BC \bot AD,BD \bot AC\)

Vậy các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau