Trang chủ Lớp 11 SGK Toán 11 - Kết nối tri thức Chương 5 Giới hạn.Hàm số liên tục Lý thuyết Giới hạn của hàm số - Toán 11 Kết nối tri thức: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Giả sử (a;là một khoảng chứa điểm \({x_0}\)và hàm số...

Lý thuyết Giới hạn của hàm số - Toán 11 Kết nối tri thức: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Giả sử (a;là một khoảng chứa điểm \({x_0}\)và hàm số...

Giải lý thuyết Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức Bài 16. Giới hạn của hàm số. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Giả sử (a;là một khoảng chứa điểm \({x_0}\)và hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm \({x_0}\)và hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng (a;b), có thể trừ điểm \({x_0}\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \({x_n} \in \left( {a;b} \right)\),\({x_n} \ne {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\)hay \(f(x) \to L\), khi \({x_n} \to {x_0}\).

*Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

a, Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\)thì

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)\)

b, Nếu \(f(x) \ge 0\)với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \).

2. Giới hạn một bên

Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Ta nói số L là giới hạn bên phải của \(f(x)\)khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\).

Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Ta nói số L là giới hạn bên trái của khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L\).

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x \to + \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to + \infty \).

Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;b} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x \to - \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì \({x_n} < b\) và \({x_n} \to - \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to - \infty \).

* Nhận xét:

Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

Với c là hằng số, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\).

Với k là một số nguyên dương, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{1}{{{x^k}}}) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{1}{{{x^k}}}) = 0\).

4. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

a, Giới hạn vô cực

- Giả sử (a;b) là một khoảng chứa \({x_0}\)và hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn là \( + \infty \)khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \(\left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = + \infty \).

Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( - \infty \)khi \(x \to {x_0}\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = - \infty \), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ { - f(x)} \right] = + \infty \).

- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( + \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên phải nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty \).

Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( + \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên trái nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty \).

Các giới hạn một bên\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty \) được định nghĩa tương tự.

b, Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

*Giới hạn của tích\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x).g(x)\)

image

*Giới hạn của thương \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\)

image

image

Dụng cụ học tập

Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Sách Giáo Khoa: Kết nối tri thức với cuộc sống

- Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống được biên soạn cho tất cả học sinh phổ thông trên mọi miền của đất nước, giúp các em hình thành và phát triển những phẩm chất và năng lực cần có đối với người công dân Việt Nam trong thế kỉ XXI. Với thông điệp “Kết nối tri thức với cuộc sống”, bộ SGK này được biên soạn theo mô hình hiện đại, chú trọng vai trò của kiến thức, nhưng kiến thức cần được “kết nối với cuộc sống”, bảo đảm: 1) phù hợp với người học; 2) cập nhật những thành tựu khoa học hiện đại, phù hợp nền tảng văn hóa và thực tiễn Việt Nam; 3) giúp người học vận dụng để giải quyết những vấn đề của đời sống: đời sống cá nhân và xã hội, đời sống tinh thần (đạo đức, giá trị nhân văn) và vật chất (kĩ năng, nghề nghiệp).

Đọc sách

Bạn có biết?

Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 11

Lớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'

- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.

Nguồn : Sưu tập

Copyright © 2024 Giai BT SGK