Giải mục 4 trang 13, 14, 15, 16 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Dựa vào định nghĩa của \(\sin \alpha \)và \(\cos \alpha \) hãy tính \({\sin ^2}\alpha + {\cos...

Câu hỏi:

a) Dựa vào định nghĩa của \(\sin \alpha \)và \(\cos \alpha \) hãy tính \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \)

b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của \(\tan \alpha \), hãy tính \(1 + {\tan ^2}\alpha \)

Hướng dẫn giải :

Vẽ hình. Xác định các điểm \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) trên hình.

Sử dụng định lý Pytago để tính

Lời giải chi tiết :

a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác \(\alpha \) trên đường tròn lượng giác. Ta có:

OK = MH = \(\sin \alpha \)

OH = KM = \(\cos \alpha \)

\(\begin{array}{l}O{M^2} = O{H^2} + M{H^2}\\ \Rightarrow 1 = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \end{array}\)

b) \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Câu hỏi:

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), biết \(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản để tính giá trị lượng giác góc \(\alpha \). Chú ý dấu của giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết :

Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)nên \(\sin \alpha > 0\). Mặc khác, từ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) suy ra

\(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{ - \frac{2}{3}}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{2};\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}\)

Câu hỏi:

Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đổi với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa \(\cos ( - \alpha )\) và \(\cos \alpha \); \(\sin ( - \alpha )\)và \(\sin \alpha \)

b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa: \(\tan ( - \alpha )\) và \(\tan \alpha \); \(\cot ( - \alpha )\) và \(\cot \alpha \)

Hướng dẫn giải :

Dựa vào hình vẽ để nhận xét

Lời giải chi tiết :

a) Hai điểm M và N đối xứng nhau qua hệ trục Oxy.

Suy ra

\(\cos ( - \alpha )\)=\(\cos \alpha \); \(\sin ( - \alpha )\)= \( - \sin \alpha \)

b) Ta có:

\(\tan ( - \alpha )\) =\( - \tan \alpha \); \(\cot ( - \alpha )\)\( - \cot \alpha \)

Câu hỏi:

Tính: a) \(\sin ( - {675^ \circ })\) b) \(\tan \frac{{15\pi }}{4}\)

Hướng dẫn giải :

Áp dụng liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\sin ( - {675^ \circ }) = \sin ({45^ \circ } - {2.360^ \circ }) = \sin {45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(\tan \frac{{15\pi }}{4} = \tan \left( {3\pi + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \tan \left( {\pi + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \tan \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) = \tan \left( {\pi - \frac{\pi }{4}} \right) = - \tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)

Câu hỏi:

Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

\(B(t) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi t}}{{12}}\)

Trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào cá thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng b) 10 giờ 30 phút sáng; c) 12 giờ trưa d) 8 giờ tối

Hướng dẫn giải :

Tính thời gian t

Áp dụng liên hệ giữa các giá trị lượng giác giữa các góc có liên quan đặc biệt.

Lời giải chi tiết :

a) t = 6

\( \Rightarrow B(6) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 6}}{{12}} = 80 + 7.\sin \frac{\pi }{2} = 87\)

b) t=10,5

\( \Rightarrow B(10,5) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 10,5}}{{12}} = 80 + 7.\sin \frac{{7\pi }}{8} = 82,67878\)

c) t=12

\( \Rightarrow B(12) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 12}}{{12}} = 80 + 7.\sin \pi = 80\)

d) t = 20

\(\begin{array}{l} \Rightarrow B(20) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 20}}{{12}} = 80 + 7.\sin \frac{{5\pi }}{3} = 80 + 7.\sin \left( {\pi + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 80 - 7.\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 80 - 7.\sin \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right)\\ = 80 - 7.\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{160 - 7\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)