Bài 1.21 trang 39 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu \({v_0} = 500m/s\) hợp...

Đề bài :

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu \({v_0} = 500m/s\) hợp với phương ngang một góc \(\alpha \). Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình \(y = - \frac{g}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \), ở đó \(g = 9,8m/{s^2}\) là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn \(\alpha \) tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn \(\alpha \) để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đạt khẩu pháo 22 000m.

Hướng dẫn giải :

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát \(\tan x = m\; \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

a) Thay g = 9,8 và \({v_0} = 500\)vào phương trình \(y = - \frac{g}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) ta được

\(\begin{array}{l}y = - \frac{{9,8}}{{{{2.500}^2}.{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \\ = - \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}{.1,96.10^{ - 5}}.{x^2} + x\tan \alpha \\ = - \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){1,96.10^{ - 5}}.{x^2} + x\tan \alpha \\ = x.\left[ {\tan \alpha - \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){{.1,96.10}^{ - 5}}.x} \right]\end{array}\)

Khi đó y = 0

Suy ra x = 0 hoặc \(x = \frac{{\tan \alpha }}{{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){{.1,96.10}^{ - 5}}}}\)

Theo góc bắn \(\alpha \)tầm xa mà quả đạn đạt tới là \(\frac{{\tan \alpha }}{{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){{.1,96.10}^{ - 5}}}}\)

b) Quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháp 22 000 m thì x = 22 000 (m)

Khi đó

\(\begin{array}{l}22\,000 = \frac{{\tan \alpha }}{{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){{.1,96.10}^{ - 5}}}}\\ \Leftrightarrow 0,4312 = \frac{{\tan \alpha }}{{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}}\\ \Rightarrow \alpha \approx {30^ \circ }\end{array}\)

( Bấm máy tính để tìm giá trị sấp xỉ của \(\alpha \))