Bài 3.12 trang 39 SBT Toán 10 Kết nối tri thức với cuộc sống: Một cây cổ thụ mạc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc ({10^ circ }) so với p...

Đề bài :

Một cây cổ thụ mạc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc \({10^ \circ }\) so với phương nằm ngang. Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây 31 m người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc \({40^ \circ }\) so với phương nằm ngang. Hãy tính chiều cao của cây.

Phương pháp giải :

- Tính \(\widehat {BAC}\) và \(\widehat {ACB}\)

- Áp dụng định lý sin, tính cạnh \(BC:\frac{{BC}}{{\sin BAC}} = \frac{{AB}}{{\sin ACB}}\)

Lời giải chi tiết :

Giả sử con dốc là AB, gốc cây đặt tại B, chiều cao cây cổ thụ là đoạn CB.

Khi đó ta có: \( \widehat {BAD} = {10^ \circ },\, \widehat {CAD} = {40^ \circ }\) và \(AB=31m\)

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\) có: \(\widehat {ACB} = {90^ \circ } - \widehat {DAC} = {90^ \circ } - {40^ \circ } = {50^ \circ }.\)

Ta có: \(\widehat {CAB} = \widehat {DAC} - \widehat {DAB} = {40^ \circ } - {10^ \circ } = {30^ \circ }.\)

Chiều cao của cây là:

Áp dụng định lý sin, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin BAC}} = \frac{{AB}}{{\sin ACB}}\,\, \Rightarrow \,\,BC = \frac{{AB.\sin BAC}}{{\sin ACB}}\\ \Rightarrow \,\,BC = \frac{{31.\sin {{30}^ \circ }}}{{\sin {{50}^ \circ }}} \approx 20,23\,\,m\end{array}\)