Giải bài 7.12 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống...

Đề bài :

Cho hai đường thẳng \(d:2x + y + 1 = 0\) và \(k:2x + 5y - 3 = 0\)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau. Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.

b) Tính tan của góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp giải :

+ Xét vị trí các đường thẳng qua các cặp vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của mỗi đường thẳng. Tìm giao điểm nếu có bằng cách xét phương trình hoành độ

+ Gọi \({k_1}\) và \({k_2}\) là hệ số góc của hai đường thẳng, ta có \(\tan \alpha  = \left| {\frac{{{k_1} - {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right|\)

Lời giải chi tiết :

a) Vectơ pháp tuyến của d và k lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;5} \right)\)

\(\Rightarrow \) Hai đường thẳng cắt nhau

Tìm giao điểm: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 0\\2x + 5y - 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;1} \right)\)

b) Gọi \({k_1}\) và \({k_2}\) là hệ số góc của hai đường thẳng

+ \(d:2x + y + 1 = 0 \Rightarrow y =  - 2x - 1 \Rightarrow {k_1} =  - 2\)

+ \(k:2x + 5y - 3 = 0 \Rightarrow y =  - \frac{2}{5}x + \frac{3}{5} \Rightarrow {k_1} =  - \frac{2}{5}\)

+ Ta có: \(\tan \alpha  = \left| {\frac{{{k_1} - {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right| = \left| {\frac{{ - 2 + \frac{2}{5}}}{{1 + \frac{4}{5}}}} \right| = \frac{8}{9}\)